文档介绍：数列知识点总结一、基本概念 1、数列:按照一定顺序排列着的一列数. ⎧数列的项、数列的项数⎪⎧表示数列的第n项与序号n之间的关系的公式⎪⎪⎪⎨通项公式:不是所有的数列都有通项公式⎨⎪⎪符号控制器:如(-1)nn+1 、(-1)⎩⎪⎪⎩递推公式:表示任一项与它的前一项(或前几项)间的关系的公式. ⎧有穷数列:项数有限的数列. ⎪⎪无穷数列:项数无限的数列.⎪⎪递增数列:从第2项起,⎨⎪递减数列:从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列.⎪常数列:各项相等的数列.⎪⎪⎩摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项, 二、等差数列:从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个常数称为等差数列的公差. an-an-1=d,n≥2且n∈Z,或an+1-an=d,n≥1且n∈Zp1EanqFDPw ⎧⎪an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d=kn+b⎪ a-a1an-am⎪ 1、若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则有⎨d=n= n-1n-m⎪ an-a1⎪n=+1⎪d⎩⎧等差中项:三个数a,G,b组成的等差数列,则称G为a与b的等差中项⇔2G=a+b ⎪⎧⎪2n=p+q⇒2an=ap+aq⎪若{a}是等差数列,则⎨n 性质:⎪⎨⎪⎩m+n=p+q⇒am+an=ap+aq ⎪构成公差公差kd的等差数列⎪若{an}是等差数列,则am、am+k、am+2k、am+3k、DXDiTa9E3d ⎪若{a}、{b}是等差数列,则{λa+μ}、{λan+μbn}是等差数列nnn⎩RTCrpUDGiT 2、等差数列的前n项和的公式:Sn= 等差数列的前n项和的性质: n(a1+an)n(n-1) =na1+d=pn2+qn22 ⎧⎧S偶-S奇=nd ⎪⎪*若项数为2nn∈N,则S=na+a,()an()⎨S奇2nnn+1⎪=⎪S⎪⎪⎩偶an+1(1)⎨5PCzVD7HxA ⎧S奇-S偶=an⎪⎪⎪若项数为2n-1(n∈N*),则S=2n-1a,S=naS=n-1a,()()n2n-1nn偶n⎨S奇奇jLBHrnAILg ⎪=⎪S⎪⎩偶n-1⎩⎧Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列⎪(2)⎨S n ⎪{是等差数列⎩n 若等差数列{an},{bn}的前n项和为Sn,Tn,,则 anS2n-1 = bnT2n-1 (3)等差数列的求和最值问题:(二次函数的配方法;通项公式求临界项法) ⎧ak≥0⎧a1>0 ①若⎨,则Sn有最大值,当n=k时取到的最大值k满足⎨ d<0a≤0⎩⎩k+1 ⎧ak≤0⎧a1<0②若⎨,则Sn有最小值,当n=k时取到的最大值k满足⎨ d>0a≥0⎩⎩k+1 三、等比数列:从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个常数称为等比数列的公比. 1、通项公式及其性质⎧an=a1qn-1=amqn-m⎪若等比数列{an}的首项是a1,公比是q,则⎨n-1ann-man. ⎪q=a,q=a 1m⎩⎧a,G,b成等比数列,则称G为a与b的等比中项⇔G2=ab ⎪2 ⎧⎪⎪2n=p+q⇒an=ap⋅aq 性质:若⎨{an}是等比数列,则⎨⎪m+n=p+q⇒am⋅an=ap⋅aq⎪⎩⎪成公比qk的等比数列⎩am、am+k、am+2k、am+3k、 2、前n项和及其性质⎧na1(q=1),(q=1) ⎪.Sn=⎨a1(1-qn)a-aqa-aqn a1na1n1n11 ===-q+=-Aq+A,(q≠1)⎪ 1-q1-q1-q1-q1-q⎩⎧Sn+m=Sn+qn⋅Sm⎪⎪Sn、S2n-Sn、S3n-S2n成等比数列⎪.性质⎨S偶⎪若项数为2n,则S=q 奇⎪⎪⎩Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等比数列⎧(n=1)⎪S1 ;(检验a1是否满足an=Sn-Sn-1)四、(1)an与Sn的关系:an=⎨xHAQX74J0X S-Sn≥2)⎪n-1(⎩n n(n+1)⎧ 1+2+3++n=⎪2⎪ n(n+1)(n+2)⎪2222 (2)⎨1+2+3++n= 6⎪⎪333n2(n+1)23⎪1+2+3++n=⎩4 五、一些方法 1、等差数列、等比数列的最大项、最小项;前n项和的最大值、最小值2、求通向公式的常见方法(1)观察法;待定系数法(已知是等差数列或等比数列);(2)an-an-1=f(n),累加消元;LDAYtRyKfE an =f(n),累乘消元。an-1 (3) an11 =an-1,(倒数构造等差:-=-k);an+kanan-1an-an-1=anan-1,(两边同除构造等差11Zzz6ZB2Ltk -=1);anan-1 (4)an=kan-1+b,化为(an+x)=k(an-1+x)构造等比dvzfvkwMI1