文档介绍：1向量组与矩阵2极大线性无关组与向量组的秩3向量组的秩与矩阵秩的关系一、:n个m维的列向量所组成的向量组构成矩阵::是否可以利用矩阵来研究向量组的相关问题?例如研究列向量组的线性相关性,只须考察方程是否有非零解。利用矩阵乘法,方程变形为这样由上一章线性方程组有解的条件可得如下结论:行向量组线性相关的充要条件是线性无关的充要条件是推论定理1若列向量组所构造的矩阵A,则例1讨论下列向量组的线性相关性解(1)向量组是3个二维向量,故线性相关。(2)由矩阵初等行变换(1)如果线性相关,那么也线性相关。定理3在r维向量组的各向量添上n-r个分量变成n维向量组。(2)如果线性无关,那么也线性无关。定理2设p1,p2,…,pn为1,2,…,n的一个排列,和为两向量组,其中即是对各分量的顺序进行重排后得到的向量组,则这两个向量组有相同的线性相关性。例2设向量组且t互不相等,证明线性无关。i证明:考察向量组设则其行列式|B|为范德蒙行列式,由于t互不相等,所以|B|≠0,i所以线性无关,从而线性无关。二、极大线性无关组与向量组的秩定义1一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组,如果这个部分组本身是线性无关的,并且从这向量组中向这部分组任意添一个向量(如果还有的话),所得的部分组都线性相关。极大无关组中向量的个数就称为向量组的秩。易知有如下结论:(1)一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价。(2)向量组线性无关当且仅当其秩等于向量组所含向量的个数。例3基本向量组是Rn的极大无关组。解由上一节,基本向量组是线性无关的,且任何一个n维向量都可以由它线性表示(即坐标表示)。定理4如果向量组能由向量组线性表出,且向量组A线性无关,那么。证明不妨设所给向量都是列向量,记矩阵由已知可得记则反证法,假设,则矩阵K的列向量组线性相关,即有不全为0的数使得即与向量组A线性无关矛盾,所以推论2等价的向量组必有相同的秩。推论1等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量。推论3秩为r的向量组中任意含r个向量的线性无关的部分组都是极大线性无关组。