文档介绍：小波分析理论与方法一傅里叶分析: 法国数学家傅里叶于 1822 年提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理, 奠定了傅里叶分析的理论基础。通常傅里叶分析是指积分傅里叶变换和傅里叶级数,传统信号分析以经典傅里叶变换为基础。傅里叶分析通过将信号正交分解到一族三角函数或复指数函数上, 揭示信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系, 从而可导出信号的频谱、带宽以及滤波、调制等重要概念。 连续傅里叶变换对于函数 f(t) ∈L 1 (R), 其连续傅里叶变换为: 其中,i是虚数单位,ω是频率变量。F(ω)的连续傅里叶逆变换为傅里叶变换存在的条件是 f(x) 在R上绝对可积,傅里叶变换把信号完全转换到频域进行分析,不但为了某一点频率的频谱需要计算过去和未来所有时间的信号, 而且丢失了时域的所有信息。平稳信号与非平稳信号 1 ,通俗讲:因为二者都是随机信号,所以要采用统计的方法对他们进行最初的处理。通过对统计特征的对比,非平稳随机信号的统计特性(均值、方差等)随着时间变化而变化,而平稳随机信号的统计特性不随时间变化。 2 ,略带理论讲:平稳信号是指分布参数或者分布律随时间不发生变化的信号, 也就是统计特性不随时间变化而变化。假设信号表示为 X(n), 则当其满足: 1. E[X(n)]= μ [|X(n)|2]< ∞ (n1,n2)=E[x(n)x(n+m)]=r(m) 则称信号 x(n) 为宽平稳(或者广义平稳)信号。注意:上述三个公式分别表示: 1)平稳信号的均值和时间无关,为常数; 2 )自相关函数(方差)和时间的起点无关,只和两点的时间差有关。 3 )互协方差函数也和时间的起点无关。 4)一阶矩为常数,二阶矩与信号时间的起始点无关,只和起始时间差有关。 3,非平稳信号:不属于平稳信号范畴的就是了一个平稳信号有如下形式)*100 *2 cos( )*50 *2 cos( )*25 *2 cos( )*10 *2 cos( )(tttttx????????另一个信号:在 0到 300ms 之间为 100Hz 的正弦信号,在 300 到 600ms 之间为 50H z 的信号,在 600到 800m s之间为 25H z 的信号,在 800到 1000m s之间为 10H z 的信号,其原始信号和傅立叶变换如下图比较两幅图可以看出,两个信号的功率频谱图基本相同第三个信号是由半年周期信号,月周期信号,以及 365 -730 的年周期信号组成。原信号图如下, 其功率谱如下: 对图进行分析,傅里叶分析能够识别出信号中存在月周期和半年周期的信号,但是月周期和半年周期信号的幅值和初始相位等时域信息无从得知。傅里叶谱是对整个时间轴的积分,为了获取信号某一特定频率分量信息,必须知道信号在整个事件过程中的变化信息,因此傅里叶变换代表信号的整体频谱信息,不具备时频分析局部化能力,这是傅里叶分析对非平稳信号分析的局限性。为了提取信号的局部特征,例如变形信号在某一时刻的频率、形变突发位置等 1946 年G abor 提出了短时傅里叶变换,即 G abor 变换, 也称加窗傅里叶变换。 G abor 变换的基本思想为:取时间函数作为窗口函数,用同待分析函数相乘, 是时间延迟,然后再进行傅里叶变换,即, 其中为窗口函数 g(t) 的窗口傅里叶变换或 Gabo r变换。窗口函数 g(t) 起着时限作用,起着频限作用。该变化具有不变化宽度(由时间宽度决定)和不变的窗口面积,这样信号在窗函数上的展开就可以表示为],[??????、],[??????这一区域内的状态,并把这一区域称为窗口, δ和ε分别称为窗口的时宽和频宽,表示时频分析中的分辨率,窗宽越小则分辨率就越高, 局部时频分析效果越好。下图是短时傅里叶变换的图解过程, 在变换过程中,把整个时域过程分解成无数个等长的小过程,每个小过程近似平稳,再傅里叶变换,就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。下面是短时傅里叶变换的例子: 非平稳信号: 傅里叶频谱图: 短时傅里叶: 由上图可发现,傅里叶转换只提供了有哪些频率成份的信息,却没有提供时间信息;而短时傅里叶转换则清楚的提供这两种信息。这种时频分析的方法有利于频率会随着时间改变的信号,如音乐信号和语音信号等分析。短时傅里叶变换是在傅里叶分析基础上引入时域信息的最初尝试,其基本信息假定在于在一定的时间内窗口信号是平稳的,那么通过分割时间窗,在每个时间窗内把信号展开到频域就可以局部的频域信息,但是它的时域区分度只能依赖于大小不变的时间窗,对某些瞬态信号来说粒度太大。换言之。短时傅里叶分析只能在一个分辨率上进行。所以对很多应用来说不够精确,时频局部化并不彻底, 存在很大的缺陷。二小波变换小波变换法由法国科学家 MORLET 于 1980