文档介绍：矩阵的合同,等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质(一)等价:1、概念。若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B,则称矩阵A与B等价,记为。2、矩阵等价的充要条件:3、向量组等价,两向量组等价是指两向量组可相互表出,有此可知:两向量组的秩相同,但两向量组各自的线性相关性却不相同。(二)合同:1、概念,两个n阶方阵A,B,若存在可逆矩阵P,使得成立,则称A,B合同,记作该过程成为合同变换。2、矩阵合同的充要条件:矩阵A,B均为实对称矩阵,则二次型与有相等的E负惯性指数,即有相同的标准型。(三)相似1、概念:n阶方阵A,B,若存在一个可逆矩阵P使得成立,则称矩阵A,B相似,记为。2、矩阵相似的性质:3、矩阵相似的充分条件及充要条件:①充分条件:矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。②充要条件:二、矩阵相等、合同、相似的关系(一)、矩阵相等与向量组等价的关系:设矩阵,1、若向量组()是向量组()的极大线性无关组,则有,即有两向量等价,而两向量组线性相关性却不同,钱者一定线性无关,而后者未必线性无关。而矩阵B与A亦不同型,虽然但不能得出。2、若m=n,两向量组()()则有矩阵A,B同型且。3、若两向量组秩相同,两向量组等价,即有综上所述:矩阵等价与向量等价不可互推。(二)、矩阵合同。相似,等价的关系。1、联系:矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系,因为三者均具有自反性、对称型和传递性。2、合同、相似、等价之间的递推关系①相似等价:A,B同型且②合同等价:同型且③相似与合同之间一般情况不能递推,但有一下附加条件时可以Ⅰ、若A,B均为实对称矩阵,则有A,B一定可以合同于对角矩阵当时,二次型与有相同的标准型,即二者有相同的正负惯性指数即有Ⅱ、存在一个正交矩阵P,即使得即则有即有Ⅲ、若A,B实对称,且存在一个正交矩阵P,则时有Ⅳ、、、下面讨论时成立的条件。由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的论述可知存在正交矩阵P时,有,则记则此时即P为正交矩阵时,由(三)1、矩阵等价:①同型矩阵