文档介绍：第十九章含参量积分目的与要求:,可微性和可积性定理,掌握含参量正常积分的求导法则;,含参量反常积分的性质,含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法,:本章重点是含参量正常积分的连续性,可微性和可积性,含参量反常积分的一致收敛性概念,性质;难点则是狄里克雷判别法和阿贝尔判别法以及含参量反常积分的连续性,可微性与可积性定理的证明第一节含参量正常积分•含参量正常积分的概念1定义设二元函数/(x,y)在矩形区域R=[m]x[c,d]上有定义,且对[。,用内每一点们函数f(x,y)关于),在闭区间]上可积,则定义了尤的函数/⑴=y)dy,xe[a,h](i)c设二元函数/(、,),)在区域G={(%,y)\c(x)<y<d(x\a<x<。}上有定义,函数c(x\d(x)^[a,h]上的连续函数,且对伍,用内每一点们函数/(x,y)关于y在闭区间[c(x),J(x)]±可积,则定义了尤的函数d(;)F(x)=\f()dy,a*e[](2)c由称(1)和(2)为含参量]),、(连续性)若二元函数/(x,y)在矩形区域R=[a,h]x\c^d]±连续,则函数dZ(x)= 在[。㈤[],对充分小的Ar,^*x4-ZLre[a,h](若工为区间端点则考虑Ar〉0或k<0),于是dZ(x+Ax)-/(x)=j[/(x+Ax,y)-/(x,y)]Jy (3)c由于f^y)在有界闭区域R上连续,从而一致连续,即对任给的正数总存在某个正数S,对/?内任意两点(X], )与(尤2,光),只要x,-x2\<3, _光|<$就有F3,)"-/(尤2,光』<£ ⑷所以由(3)(4)可得:当|4xj<8,Z(x+Ar)-/(x)|<j|/(x+Ar,y)-/(x,y)\dy<^dy=^d-c)c c这就证得/(x)在[。,用上连续.(同理,若二元函数/(x,y)在矩形区域R=[a,b]x[]上连续,则函数b♦3)二 在[。挪]上连续.):若二元函数/(x,y)在矩形区域7?=Mx[c,d]±连续,则Vx0e[]都有lim\f(x,y)dy=Jlim(极限运算与积分运算交换顺序)・人>人0° 」人>C (连续性)设二元函数f(x,y)在区域G-{(3)|心)<yVd(x),a<x<。}上连续,其中函数c(x),4(工)为[q,。]上的连续函数,则函数d(;)F(x)二J7(x,y)4y,-xe[] (6)c(x):对积分(6)作换元,令y=c(x)+r(rf(x)-c(x)),贝UIF(x)=j/(x,y)dy=|/(x,c(x)+t{d(x)-c(x)))(J(x)-c{x))dtc(x) 0由T*f(x,c(x)4-(J(x)-c(x)))(J(x)-c(x))在矩形[a,/?]x[o,l]_t连续,(x)在[M](可微性)若函数/(x,y)与其偏导数—f(x,),)都在矩形区域R=[]x[c,d]ex上连续,则/⑴=Jf(尤,),知在[。,司上可微,且C C证明:设XE[],对充分小的Ar,有x+ (若尤为区间端点则考虑单侧导数),于是/(>+耸)-/(尤)=[fCx+Ax,v)-r(x,)O治Ax ? Aa '由于拉格朗日中值定理及—/(x,y)在矩形区域R=[M]x[c,出上连续(从而一致连续),dx即对任给的正数总存在某个正数$,只要1*1<5,就有—+&:')顼号')_h(号』=|兀("0k,),)-以3】<,(0曷<I)因此芸_]/,(3肉亦爪+愆J顼2)一演,),",<如-c)c C这就证得对一切xg\a,b\,有—/(%)= f(x,y)(可-微性)若函数/(x,y)与其偏导数—/(x,y)都在区域/?=[□,/?]x[p,q]上连dx续,c(x),d(x)为定义在[a,b][p,q]的可微函数,则F(x)=J/(x,y)dy,在[g,。]c(x)上可微,且矿O)=ffxy)dy+/(x,d(x))d\x)-/(x,c(x))cr(x) (7)c(x)证把F(W看作复合函数:dF(x)=H(x,c,d)= 其中c=c(x),cl=d{x)c由复合函数求导法则及变上限积分的求导法则,有d 8HdHde5Hdd——F(x)=一+ + dx ,)%>+/0,"0))/3)-/(