文档介绍：数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——圆锥曲线(一) 湖南省常德市安乡县第五中学龚光勇收集整理 : (1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点 F, F的距离的和等于常数,且此常数一定要大于,当常数等于时, 轨迹是线段 FF,当常数小于时,无轨迹;双曲线中,与两定点 F,F的距离的差的绝对值等于常数,且此常数一定要小于|FF|,定义中的“绝对值”与<|FF|不可忽视。若=|FF|,则轨迹是以 F,F为端点的两条射线,若﹥|FF|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。比如: ①已知定点,在满足下列条件的平面上动点 P的轨迹中是椭圆的是 . .(答: C); ②方程表示的曲线是_____ (答:双曲线的左支) (2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点及抛物线上一动点 P(x,y),则y+|PQ| 的最小值是_____ (答: 2) (标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): (1)椭圆:焦点在轴上时()(参数方程,其中为参数),焦点在轴上时=1()。方程表示椭圆的充要条件是什么? (ABC ≠0,且A,B,C同号,A≠B)。比如: ①已知方程表示椭圆,则的取值范围为____ (答: ); ②若,且,则的最大值是____ ,的最小值是___ (答: ) (2)双曲线:焦点在轴上: =1,焦点在轴上: =1 ()。方程表示双曲线的充要条件是什么?( ABC ≠0, 且A,B异号)。比如: ①双曲线的离心率等于,且与椭圆有公共焦点,则该双曲线的方程_______ (答: ); ②设中心在坐标原点,焦点、在坐标轴上,离心率的双曲线 C 过点,则 C的方程为_______ (答: ) (3)抛物线:开口向右时,开口向左时, 开口向上时,开口向下时。 (首先化成标准方程,然后再判断) : (1)椭圆:由,分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程表示焦点在 y轴上的椭圆,则 m的取值范围是__(答: ) (2)双曲线:由,项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点 F,F的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向;(2)在椭圆中, 最大, ,在双曲线中, 最大, 。 : (1)椭圆(以()为例):①范围:; ②焦点:两个焦点;③对称性:两条对称轴,一个对称中心(0,0 ),四个顶点,其中长轴长为 2,短轴长为 2;④准线: 两条准线;⑤离心率: ,椭圆,越小,椭圆越圆; 越大,椭圆越扁。比如: ①若椭圆的离心率,则的值是__(答: 3或); ②以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1时,则椭圆长轴的最小值为__(答: ) (2)双曲线(以()为例):①范围:或; ②焦点:两个焦点;③对称性:两条对称轴,一个对称中心(0,0 ),两个顶点,其中实轴长为 2,虚轴长为 2,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为;④准线: 两条准线;⑤离心率:,双曲线,等轴双曲线, 越小,开口越小, 越大,开口越大; ⑥两条渐近线: 。比如: ①双曲线的渐近线方程是,则该双曲线的离心率等于______ (答: 或); ②双曲线的离心率为,则=(答: 4或); ③设双曲线(a>0,b>0 )中,离心率 e∈[,2], 则两条渐近线夹角θ的取值范围是________ (答: ); (3)抛物线(以为例): ①范围: ;②焦点:一个焦点,其中的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴,没有对称中心,只有一个顶点(0,0 );④准线:一条准线;⑤离心率: ,抛物线。如设,则抛物线的焦点坐标为________ (答: ); 5、点和椭圆()的关系:( 1)点在椭圆外;(2)点在椭圆上=1;(3)点在椭圆内 : (1)相交: 直线与椭圆相交; 直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有,当直线与抛物线的对称轴