文档介绍：[收稿日期]2007205218; [修改日期]2007208213 第25卷第6期大学数学 , 2009年12月 COLLEGEMATHEMATICS 易拉罐形状和尺寸的最优设计王博 1, 李若超 1, 樊爱军 2 (,重庆400038; ,重庆400038) [摘要],根据实际测量的数据,利用拉格朗日乘子法,,给出了个性化的创新型美观设计方案,,利用辛普生公式近似算法,得到了新造型设计的具体尺寸. [关键词]优化模型;拉格朗日乘子法;辛普生公式[中图分类号] [文献标识码]B [文章编号]167221454(2009)0620138205 1 问题重述根据实际测量的铝制易拉罐规格,解决2006/高教社杯0全国大学生数学建模竞赛中的C题,并做出了我们自己关于易拉罐形状和尺寸的最优设计. 2 模型假设 (如可口可乐355ml装)的铝制易拉罐规格为标准; ,其他各部分的厚度相同; ; . 3 符号说明 r:易拉罐的半径(因此,直径为d=2r). h:易拉罐的高. V:易拉罐内的体积. b:除顶盖外的材料的厚度. A:顶盖厚度是其他部分厚度的倍数. S:所用材料的表面积. SV:所用材料的体积. 4 问题分析与模型建立本文讨论的是易拉罐的最优设计问题,,一种制作易拉罐的用料最省,,目前采用冲压的方法, ,在铝板上截取圆形铝块的排布均采用图1所用的方式[1]. 在这种排布方式下,每个圆形所产生的废料比例是一定的,因此我们只取单个圆(图2)来讨论下脚料的问题. 假设圆的半径为a,则圆面积为Pa 2,正方形面积为4a 2,%.因此废料(图2阴影部分)%. 这样的比例在日常生产中完全可以接受,同时考虑到废料还有回收再利用价值,所以我们将截取材料的最优设计忽略,仅考虑易拉罐本身用料最少. 在问题2中,,就是一突体,由两全等的平面(称为底)[2],. 图3 考虑厚度的易拉罐示意图图4 考虑圆台的易拉罐示意图对于它的最优设计,即是要求饮料罐内体积为一定值时,: S(r,h)=2Prh+Pr 2+Pr 2=2P[r 2+rh], 求在满足易拉罐体积V=Pr 2h为一定值时的最小值. 在考虑到厚度的情况下,易拉罐侧面所用材料的体积为(P(r+b) 2-Pr 2)(h+(1+A)b)=2Prhb+2Pr(1+A)b 2+hPb 2+P(1+A)b 3. 饮料罐顶盖