文档介绍：教案

一元函数的 Taylor 公式

教学内容
用简单的函数近似表示较复杂的函数是一种经常使用的数学方法,Taylor 公
式提供了用多项式逼近函数的一条途径,是微积分的重要工具之一,也是后继课
程“函数的幂级数展开”一节的基础,它们在理论上和应用中都起着重要的作用。
在这节中主要讲解以下几方面的内容:
(1) 带 Peano 余项的 Taylor 公式和带 Lagrange 余项的 Taylor 公式;
(2) Maclaurin 公式;
(3) 具体函数的 Taylor 展开方法和用 Taylor 公式作近似计算的方法。

教学思路和要求
(1) Taylor 公式是一元微分学学习中的一个难点,初学者往往对于其“复
杂”形式产生畏惧,因而对这部分的内容只是死记硬背,不能达到深刻领会的效
果。因此要讲清楚这个问题的来龙去脉,使学生能从形式上的公式看清它的本质,
进而提高其领会能力。
(2) Taylor 公式与基本初等函数 e x ,sin x , cos x , (1 x)和 ln(1 x) 等
的 Taylor 公式是本节内容的基础和重点。
(3) 虽然一些基本初等函数的 Taylor 公式是从定义直接推导出来的,但
一般来说直接利用定义计算具体函数的 Taylor 公式往往很不方便,因此有必要向
学生介绍一些方便而实用的计算方法,提高他们的计算能力。
(4) 对于具体函数的 Taylor 公式的计算到多少阶,学生们往往只能根据
习题要求来做,但在实际应用中,计算一个函数的 Taylor 公式到多少阶是要灵活
掌握的。因此有必要在讲 Taylor 公式的应用时,在这方面加以适当引导,发挥他
们的主观能动性。

教学安排

我们已经知道,如果 f 在 x0 处可微,那末在 x0 邻近就有
f (x) = f (x0 ) + f ( x0 ) (x  x0 )  o(|x- x0 |)。
这意味着当我们用一次多项式 f (x0 ) + f ( x0 ) (x  x0 ) 近似代替 f (x) 时,其精确度
对于 x  x0 而言,只达到一阶,即误差为 o(|x- x0 |)。为了提高精确度,必须考虑
用更高次数的多项式作逼近。由于多项式是一类比较简单的函数,借助于近似多
项式研究函数的性态无疑会带来很大的方便。而且,在实际计算中,由于多项式
只涉及加、减、乘三种运算,以它取代复杂的函数作运算也将有效地节约工作量。

我们的讨论从下面的问题开始:设函数 f 在 x0 处 n 阶可微,试找出一个关于
x  x0 的 n 次多项式,
n
a0  a1 (x  x0 )  an (x  x0 ) ,
1
n
使这个多项式与 f 之差是比(x  x0 ) 高阶的无穷小。
首先,如果成立着
n
(*) i n ,
f (x) ai (x  x0 )  o((x  x0 ) )
i0
我们来讨论一下多项式各项的系数 ai 与 f 的关系。
在(*)式两边令 x  x0 ,利用 f 在 x0 的连续性,得
a0  f (x0 ) 。
把 a0 代入(*)式,移项后得
f (x)  f (x ) n
0 i1 n1 ,
ai (x  x0 )  o((x  x0 ) )
x  x0 i1
在上式两边再令 x  x0 ,由 f ( x0 )的定义可得
f (x0 )  a1 。
把 a0 , a1 代入(*)式,移项后得
f (x)  f (x )  f (x )(x  x ) n
0 0 0 = i2 n2 ,
2 ai (x  x0 )  o((x  x0 ) )
(x  x0 ) i2
在上式两边令 x  x0 ,右边的极限为 a2 ,左边的极限为
f (x)  f (x )  f (x )(x  x )
lim 0 0 0
xx 2
0 (x  x0 )
f (x)  f (x0 ) 1
= lim = f (x0 ) 。
xx
0 2(x  x0 ) 2
1
因此, a = f (x ) 。依此类推,可得
2 2 0
1
a  f (k) (x ), k  0,1,2,n,
k k! 0
其中,记 f (0) (x)  f (x) 。

定理 1(带