文档介绍：量纲分析法量纲分析是20世纪初提出的,在物理领域中建立数学模型的一种方法,它是在经验和实验的基础上,利用物理定律的量纲齐次原则,确定各物理量之间的关系。,有些物理量的量纲是基本的,另一些物理量的景纲则可以由基木量纲根据其定义或某些物理定律推导出来。例如在动力学中,把长度/,质量m和时间,的量纲作为基木量纲,记为[m]=My\l]=T;而速度v,力/•的量纲可表示为[v]=LT-J,[f]=MLT^,有7个基本量:长度、质量、时间、电流、温度、光强度和物质的量,它们的量纲分别为L、M、T、I、。、J、和N;称为基木量纲。任一个物理量q的量纲都可以表成基木量纲的蓦次之积,\cl\=IfMf}TrI6Q£N^Jn量纲齐次性原则:用数学公式表示一个物理定律时,等式两端必须保持量纲一•致。量纲分析就是在保证量纲一致的原则下,分析和探求物理量之间关系;先看一个具体的例了,再给出量纲分析的一般方法。例3-1:单摆运动,质量为的小球系在长度为/的线的一端,线的另一端固定,小球偏离平衡位置后,在重力〃g作用下做往发摆动,忽略阻力,求摆动周期汀KJ表达式。解:在这个问题中有关的物理量右顷,l,g设它们之间有关系式t=Am^la2g^ ()其中a,。?,。,为待定常数,入为无量纲的比例系数,取()式的量纲表达式有小虻甲"整理得:T= ()由量纲齐次原则应有%=0<久+%=0 ()—2«3=1解得:%=0,<z2=—,%=——,代入()得t—X・()()式与单摆的周期公式是一致的下面我们给出用于量纲分析建模的BuckinghamPi定理,/("2, ,儿)=°定理:设n个物理量叫,心,……,尤〃之间存在一个函数关系 ()[aJ [l』为基木量纲,m5°X]的量纲可表示为m[xj=n[Xj]aui=1,2, , n;=•矩阵a=(灼)〃加称为量纲距阵,若RgkA=r,则()式与下式等价, ~)=o其中F为一个未定的函数关系,,•为无量纲量,且%可表示为飞=nS ——()/=i而")=(”件0祟……优:))为线性齐次方程组ATJ3=,关键是确定与该问题相关的几个基本量纲的无量纲量勿1刀2 兀n-r,作为量纲分析法的应用,,长/吃水深度*的船以速度v航行,若不考虑风的影响,航船受到的阻力/'除依赖于船的诸变量/、,还与水的参数——密度P,粘性系数日,以及重力加速度g有关。我们利用pi定理分析f和上述物理之间的关系航船问题中涉及的物理量及其量纲为\f]=LMT~2[/]=L[h]=L< [v]=lL[p]=SM[间=匚所-[[gib我们要寻求的关系式为(p(J,l,h,u,p,",g)=O ()这些物理量中涉及到的基木量纲为L、M、T写出量纲距阵1111-3-1AT=l000 1 1-200-10-1rankA=3解齐次线性方程组=0,可得〃-尸=4个基木解向量伊)=(0、1、-1、0、0、0、0"/?⑵=(0、1、0、一2、0、0、1"伊)=(0、1、0、1、1、—1、0),Z7(4)=(1、一2、0、一2、一1、0、0)7由()式,可给出4个无量量纲勿]=itr