文档介绍：平面几何中的向量方法[学****目标] 、(1)证明线段平行问题,包括相似问题,常用向量平行(共线)的等价条件:a∥b(b≠0)⇔a=λb⇔x1y2-x2y1=0.(2)证明垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形等,常用向量垂直的等价条件:非零向量a,b,a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.(3)求夹角问题,往往利用向量的夹角公式cosθ==.(4)求线段的长度或证明线段相等,可以利用向量的线性运算、向量模的公式:|a|=.思考△ABC中,M、N分别为AB、:MN∥=a,=b,则=-=b-a,又M、N分别为AB、AC的中点.∴=a,=b.△AMN中,=-=b-a=(b-a),∴=,即与共线,∴MN∥(1)直线Ax+By+C=0的方向向量为(B,-A);直线y=kx+b的方向向量为(1,k).(2)应用直线的方向向量求两直线的夹角已知直线l1:y=k1x+b1与直线l2:y=k2x+b2,它们的方向向量依次为v1=(1,k1),v2=(1,k2).当v1⊥v2,即v1·v2=1+k1k2=0时,l1⊥l2,夹角为直角;当k1k2≠-1时,v1·v2≠0,直线l1与l2的夹角为θ(0°<θ<90°).不难推导利用k1、k2表示cosθ的夹角公式:cosθ==.思考1 已知直线l:2x-y+1=0,在下列向量:v1=(1,2);②v2=(2,1);③v3=;④v4=(-2,-4).其中能作为直线l方向向量的有:①③④思考2 直线x-2y+1=0与直线2x+y-3=0的夹角为________;直线2x-y-1=0与直线3x+y+1= 90° 45°知识点三直线的法向量(1)直线Ax+By+C=0的法向量为(A,B);直线y=kx+b的法向量为(k,-1).(2)直线法向量的简单应用:利用直线的法向量判断两直线的位置关系:对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,它们的法向量分别为n1=(A1,B1),n2=(A2,B2).当n1∥n2时,l1∥-A2B1=0⇔l1∥l2或l1与l2重合;当n1⊥n2时,l1⊥+B1B2=0⇔l1⊥:(a+2)x+(1-a)y-3=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直,±1解析 n1=(a+2,1-a),n2=(a-1,2a+3),∵l1⊥l2,∴n1·n2=(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=(a-1)(-a-1)=0,∴a=± ,分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、(2a,0),B(0,2a),则D(a,0),C(0,a),从而可求:=(-2a,a),=(a,-2a),不妨设、的夹角为θ,则cosθ====-.故所求钝角的余弦值为-.跟踪训练1 已知正方形ABCD中,E、F分别是CD、AD的中点,BE、:(1)BE⊥CF;(2)AP=,设AB=2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).(1)=(-1,2),=(-2,-1).∴·=(-1)×(-2)+2×(-1)=0,∴⊥,即BE⊥CF.(2)设点P坐标为(x,y),则=(x,y-1),=(2,1),∵∥,∴x=2(y-1),即x=2y-2,同理,由∥,得y=-2x+4,由得∴点P的坐标为(,).∴||==2=||,即AP= 已知△ABC的三个顶点A(0,-4),B(4,0),C(-6,2),点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点.(1)求直线DE、EF、FD的方程;(2)(1)由已知得点D(-1,1),E(-3,-1),F(2,-2),设M(x,y)是直线DE上任意一点,则∥.=(x+1,y-1),=(-2,-2).∴(-2)×(x+1)-(-2)(y-1)=0,即x-y+2=,直线EF,FD的方程分别为x+5y+8=0,x+y=0.(2)设点N(x,y)是CH所在直线上任意一点,则⊥.∴·==(x+6,y-2),=(4,4).∴4(x+6)+4(y-2)=0,即x+y+4=0为所求直线C