文档介绍：储油罐的变位识别与罐容表标定问题的探索
摘要
本文首先分析了储油罐由于发生纵向倾斜和横向偏转,从而导致罐容表发生变化这一问题,然后针对罐体变位后对罐容表的影响建立了数学模型。最终解决了储油罐的变位识别与罐容表标问题。
针对问题一,我们通过简化图形,推出两端平头的椭圆柱体水平时与倾斜后的位置关系,利用割补法将变位后的罐体转化为没有变位的罐体,求出没有变位的罐内液体体积,从而得到倾斜罐体内液体的体积。在求水平罐体体积时,我们通过微积分计算出截面面积,利用体积公式求出水平时罐体内液体体积。随后,可以根据纵向倾斜的角度,得出倾斜后罐内油位高度与储油量的对应关系。再对附件中的实际数据进行拟合,发现小椭圆型储油罐的罐体变位后所测得油面高度要比水平情况下所测得的油面高度要高。最终得出罐体变位后油位高度间隔为的罐容量表标定值。
针对问题二,我们首先考虑横向偏转变位对罐容表的影响(即对油浮子测得高度的影响),再分析纵向倾斜变位对罐容表的影响。求出圆柱体内液体容积后,结合问题一的数学模型求出两个球罐体内液体的体积。在求球冠体内液体体积时,我们首先求出球冠体与圆柱截面相交形成的弓形面积表达式,通过积分计算出球冠体内液体的体积,进而确定罐内储油量与油位高度及变位参数之间的一般关系。然后通过附表2中的数据求出变位参数与。并且结合附表2的数据对所得一般关系进行检验,用来判断模型的正确性与方法的可靠性。最后,通过建立的数学模型与所给数据画出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。
最后,我们对模型所用思想方法的科学性,以及结果的合理性进行了分析与评价。该模型计算方法简单快捷,在日常生活中具有普遍可操作性,为非专业测量人员提供了方便。
关键词:割补法;微积分;拟合
一、问题重述
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐,并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”,采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据,通过预先标定的罐容表(即罐内油位高度与储油量的对应关系)进行实时计算,以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后,由于地基变形等原因,使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化(以下称为变位),从而导致罐容表发生改变。按照有关规定,需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图,其主体为圆柱体,两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图,图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
使用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
(1)为了掌握罐体变位后对罐容表的影响,利用如图4的小椭圆型储油罐(两端平头的椭圆柱体),分别对罐体无变位和倾斜角为a=,实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响,并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
(2)对于图1所示的实际储油罐,试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型,即罐内储油量与油位高度及变位参数(纵向倾斜角度a和横向偏转角度b )之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据(附件2),根据你们所建立的数学模型确定变位参数,并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
二、问题分析
很多加油站的储油罐在使用一段时间后,由于地基变形等原因,使罐体的位置会发生变位,油浮子所测高度不是液体水平时高度,导致罐容表出现错误。针对这一问题,我们分为两个步骤来计算,第一步先计算水平时的罐体体积,第二步计算倾斜时的体积,然后通过实际数据来验证。
对于问题一,我们通过简化小椭圆油罐的形状,考虑两端平头的椭圆柱体水平时与倾斜后的位置关系,画出简图,使用微积分计算出截面面积,利用体积公式先求出罐体水平时液体体积,进而求出变位后罐体内液体体积。然后根据水平与倾斜的角度,得出倾斜后罐内油位高度与储油量的对应关系。
对于问题二,在问题一的基础上求出圆柱体的体积,然后通过积分及图形增补分割求出球冠体的体积,随后可得到液体容积。根据所求得的液体容积,可以找出罐内储油量与油位高度及变位参数之间的一般关系,通过一般关系及附表中数据可求出变位参数,并且将附表2 中数据代入函数关系中进行检验,从而对模型进行评价。
三、符号说明
变位后油浮子所测油量高度
倾斜时油面高端高度
倾斜时油罐内的体积
油浮子到油罐左端距离
油罐主体部分总长度
圆柱体截面圆的半径
球罐体所在球面的球半径
纵向变位倾斜角
横向变位倾斜角
椭圆弓形面积
矩形柱体截面面积
四、基本假设
,不考虑油罐截面为三角形的情况。