文档介绍：矩阵初等变换的应用骆攀[摘要]从矩阵初等变换的定义出发,比较详细地总结了矩阵的初等变换在线性代数、初等数论、数学分析求函数极值、经济交易系统的价值、生物营养、化学方程式配平、判断平面位置关系等方面的一些应用.[关键词]矩阵;初等变换;秩;基1引言矩阵是大学数学学习过程中的一个重要内容,是线性代数研究的主要对象,,最早来源于方程组的系数及常数所构成的方阵,毫无疑问为解方程组带来了方便,随着矩阵理论的发展,新的概念不断产生,新的问题也随着产生,如比较抽象的问题能够用矩阵表示出来,建立数学模型求解,初等变换能够把各种复杂的矩阵转化成需要的矩阵形式,使计算变得更加简洁,,虽然前人得出了很多有价值的结论[1-6],但是它的运用局限于线性代数,而且还是凌散不系统的,,本文综合前人在初等变换方面的研究,对初等变换的相关理论成果做全面的梳理整合,使初等变换的理论与应用更全面、细致,方便学者系统地了解初等变换在不同领域的运用,加深对初等变换的理解,以便学者今后在学习生活中能够更加灵活地运用初等变换去解决一些实际问题,服务于生活,使初等变换不仅在数学领域发挥作用,(列)变换称为矩阵的初等变换:(1)换法变换:对调矩阵两行(列);(2)倍法变换:用任意数乘矩阵的某一行(列)中的所有元素;(3)消法变换:用数乘矩阵的某一行(列)的所有元素加到另一行(列),经过有限次初等变换总可以化为阶梯形矩阵,,:方法一:.方法二:.方法三:.证明(方法三):因为可逆,故有可逆矩阵使得,:若矩阵经过初等行变换化为行阶梯形矩阵,且行阶梯形矩阵是非零行的,那么行数就是矩阵的“秩”.定理1矩阵经初等变换后,其秩不变,即若,,,判断它们是否等价,可先构造矩阵,通过初等变换求出矩阵的秩,若,Ⅰ:和向量组Ⅱ:.判断向量组Ⅰ和向量组Ⅱ,根据上述方法,只要证,为此把矩阵用初等变换化为阶梯形矩阵:.由此可知,,故向量组Ⅰ和向量组Ⅱ:先写出齐次线性方程组的系数矩阵,然后利用初等行变换将系数矩阵化为阶梯形矩阵,,,则有非零解;最后对阶梯形矩阵施行初等行变换将其化为行最简形矩阵,写出其对应的线性方程组,以非零行首个非零元对应的个未知量为基本未知量,其余的个未知量为自由未知量,将自由未知量移到等式右端得到一般解,在一般解中分别令自由未知量中一个为1,其余全为0,求得的基础解系:;个解向量的线性组合就是的通解,:首先写出的增广矩阵,并把它化为行阶梯形;若,,则此方程组有唯一解,只需要对增广矩阵实施一系列的初等行变换使其化为行最简形,由此得出方程组的解,即,,则此方程组有无穷多解,,可逆时线性矩阵方程的解(1),若可逆,则,初等变换法即.(2),若可逆,则,初等变换法即.(3),若均可逆,则,即先作,,,,不可逆时线性矩阵方程的解定理2如果矩阵方程有解,且有可逆矩阵使,就可得矩阵方程的通解为,其中为的前行组成的矩阵,:(1)把,,放到一起,组成一个矩阵,然后对其做初等行变换得到矩阵,其中是上阶三角矩阵,从而可确定矩阵和矩阵的秩,判断方程是否有解,同时取的前面行作成,它满足,且为的前行.(2)如果上述方程有解,就对作初等列变换,经过列变换后变成,其中,必有.(3)从而由上述定理2可知,,,,将放到一起,组成一个矩阵,如下:,然后对其作一系列初等行变换,使得为上三角矩阵,即,很明显矩阵和矩阵的秩都是,,有,接下来对作初等列变换有,,由定理2知,该方程的通解为,,首先写出二次型所对应的矩阵,然后构