文档介绍：-1- 数学必修四知识点梳理第一章三角函数、三角恒等变换一、角的概念的推广●任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置转到另一个位置所成的图形。●正角、负角、零角按逆时针方向旋转成的角叫做正角, 按顺时针方向旋转所成的角叫做负角, 一条射线没有作任何旋转所成的叫做零角。可见, 正确理解正角、负角和零角的概、关键是看射线旋转的方向是逆时针、顺时针还是没有转动。●象限角、轴线角当角的顶点与坐标原点重合, 角的始边与 x 轴的非负半轴重合时, 那么角的终边在第几象限(终边的端点除外) ,就说这个角是第几象限角。当角的顶点与坐标原点重合, 角的始边与 x 轴的非负半轴重合时, 终边落在坐标轴上的角叫做轴线角。●终边相同角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成集合 S={ β|β=α+k? 360 ° ,k∈ Z}, 即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和。二、弧度制●角度定义制规定周角的 360 1 为一度的角,记做 1°, 这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制,角度制为 60 进制。●弧度制定义 1 、长度等于半径的弧度所对的圆心角叫做 1 弧度的角。用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。 1 弧度记做 1rad 。 2 、根据圆心角定理,对于任意一个圆心角α,它所对的弧长与半径的比与半径的大小无关,而是一个仅与角α有关的常数,故可以取为度量标准。●弧度数一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是 0. 如果半径为 r 的圆的圆心角α所对的弧的长为 l ,那么,角α的弧度数的绝对值是 r l?||α。α的正负由角α的终边的旋转方向决定,逆时针方向为正,顺时针方向为负。三、任意角的三角函数●任意角的三角函数的定义设α是一个任意大小的角, α的终边上任意点 P 的坐标是( x,y ) ,它与原点的距离 r( 2 2 0 r x y ? ??) ,那么-2- 1 、比值 yr 叫做α的正弦,记做 sin ?,即 sin yr ??。 2 、比值 xr 叫做α的余弦,记做 cos ?,即 cos xr ??。 3 、比值 yx 叫做α的正切,记做 tan ?,即 tan yx ??。另外, 我们把比值 xy 叫做α的余切, 记做 cot ?,即 cot xy ??; 把比值 rx 叫做α的正割, 记做 sec ?,即 sec rx ??;把比值 ry 叫做α的余割,记做 csc ?,即 csc ry ??。对于一个确定的角α, 上述的比值是唯一确定的, 它们都可以看成从一个角的集合到一个比值的集合的映射, 是以角为自变量, 以比值为函数值的函数, 我们把它们统称为三角函数。●诱导公式一终边相同角的同一个三角函数的值相等。 sin( 2 ) sin k ? ??? ? ?, cos( 2 ) cos k ? ??? ? ?, tan( 2 ) tan k ? ??? ? ?,以上 k∈Z。利用此公式,可以把球求任意角的三角函数值化为求 0到2π角的三角函数值。●正弦线、余弦线、正切线 1 、如图所示,设任意角α的终边与单位圆交于点 P( x,y ) ,那么 sin 1 y y yr ?? ??, cos 1 x x xr ?? ??。过点 P( x,y )作 PM⊥x 轴于 M ,我们把线段 MP, OM 都看做规定了方向的有向线段:当 MP 的方向与 y 轴的正方向一致时, MP 是正的;当 MP 的方向与 y 轴的负方向一致时, MP 是负的。因此, 有向线段 MP 的符号与点 P 纵坐标的符号总是一致的,且|MP|=|y| ,即总有 MP=y 。同理也有 OM=x 成立。从而 sin y MP ?? ?, cos x OM ?? ?。我们把单位圆中规定了方向的线段 MP, OM 分别叫做角α的正弦线、余弦线。 2 、如图所示,过 A( 1,0 )作 x 轴的垂线,交α的终边 OP 的延长线(当α为第一、四象限角时)或这条终边的反向延长线(当α为第二、三象限角时)于点 T ,借助于有向线段 OA , AT ,我们有 tan y AT AT x OA ?? ??。于是,我们把规定了方向的线段 AT 叫做α的正切线。特别地,当α的终边在 x 轴上时,点 A 与点 T 重合, x yo PMx yPM TAO -3- tan 0 AT ?? ?;当α的终边落在 y 轴上时, OP 与垂线平行,正切线不存在。四、同角三角函数的基本关系●同角三角函数的基本关系根据三角函数的定义,可以推导出同角三角函数间的基本关系。由三角函数定义有 sin yr ??, cos xr ??, tan y