文档介绍：导数在中学数学中的应用
铜仁学院数学与计算机科学系,
【摘要】导数具有丰富多彩的性质和特性,利用导数研究或处理中学数学问题,既可以加深对导数的理解,又可以为解决函数问题提供了有利的方法,使得函数问题得到简化,为我们解决函数问题提供了有力的工具,用导数可以解决函数中的极值和最值问题,不等式问题,还可以与解析几何相联系,可以用导数求曲线的切线,判断或论证函数的单调性。因此导数是分析和解决中学数学问题的有效工具。本文就导数的有关知识在中学数学中的应用进行了探讨。阐述了利用导数知识研究函数的单调区间、最值等问题的基本方法,以及导数为解决某些不等式的证明、方程求解和数列求和提供了捷径。同时导数知识在研究曲线的切线方面和解决实际问题中也有着广泛的应用。
【关键词】导数;函数;切线;极值和最值;不等式
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导数(导函数的简称)是一个特殊函数,它的引出和定义始终贯穿着函数思想。导数是近代数学的重要基础,是联系初、高等数学的纽带,它的引入为解决一些中学数学问题提供了新的视野, 是研究函数性质、探求函数的极值最值、求曲线的斜率等等的有力工具[1]。本文就导数的应用,谈一点个人的感悟和体会。
导数在中学数学中的应用非常广泛,涉及到中学数学的各个方面。应用导数处理问题不需要很高的思维能力,突出了通法,淡化了技巧。下面分类例析导数在中学数学中的具体应用。

利用导数分析函数的性态是一种重要手段。在分析函数的图象、判断函数的单调性、求解函数的最值等方面,利用导数可使复杂问题简单化、程序化。
1 分析函数的图象
y
o
x
【例1】设函数f (x)在定义域内可导,y = f (x)的图象如图所示,则导函数y =f ′(x)的图象可能是[2]
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
图1
A. B. C. D.
解:当 x<0时,函数在对应的区间内均为增函数,∴.当x>0时,函数在对应的区间内先增后减再增,∴先大于0,后小于0,。
求参数的值
【例2】函数过曲线上的点p(1, )的切线方程为,若函数在区间[-2,1]上单调递增,求b的取值范围[2]。
解: 由求导可得

过上p(1, )的切线方程为:

即,
而过上p(1, )的切线方程为
。
故有3+2a+b=3
即2a+b=0
又
∵ 在区间[-2,1]上单调递增,
∴ 在区间[-2,1]上恒有,即在
[-2,1]上恒成立。
当时,,所以;
当时, , 所以
当时,,则
综合上述讨论可知,所求参数b的取值范围是:
判断函数的单调性
函数的单调性是函数的最基本性质之一,是研究函数所要掌握的最基本的知识。用单调性的定义来处理单调性问题有很强的技巧性,较难掌握好,而用导数知识来判断函数的单调性简便而且快捷,对于基本初等函数的单调性,大家都比较熟悉,易找到它的单调区间。当我们所讨论的函数是特殊基本初等函数(反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数与对数函数、三角函数与反三角函数、幂函数等)时,一般情况可利用它们定义域上的单调性来求解;但对于较复杂的函数的单调性,,而借有导函数来解决函数的单调性会更简明。
[3]
单调性,并循“同增异减”的法则来获得,若为比较复杂的复合函数时,利用导数可化难为易,轻松求解。
利用导数判断函数的单调性的步骤是:
(1)确定的定义域;
(2)求导数;
(3)在函数的定义域内解不等式>0和<0;[4]
确定的单调区间时,若在函数式中含字母系数,往往要分类讨论。
【例3】确定函数在哪个区间是增函数,在哪个区间是减函数。
分析:对函数求导,求不等式>0和<0的解,则>0的解为单调增区间,<0的解为单调减区间。
解:∵

令>0,得x<1或x>1,
所以的单调增区间为和
令<0,得-1<x<1
所以的单调减区间为
【例4】设=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范围,并求其单调区间。
解:=3ax2+1,
若a≥0, >0,对x∈R恒成立,此时只有一个单调区间,矛盾。
若a<0,∵=3ax2+1,此时恰有三个单调区间。
令=0得x1=,x2=
∴ a<0且单调减区间为(-∞,)和(,+∞),单调增区间为(-,)。
评注:函数的驻点(导函数值等于0的点)和不可导的点(导数不存在的点)可能为函数的单调区间的分界点,分界点的确定取决于点两侧的导数是否异号。
【例5】通常推出一种新的电子游戏程序时,其在短期内销售量会迅速增加,然后开始