文档介绍：学期:2009至2010学年度第_ 学期试卷编号1111111111111111111111111**********吴明芬 审批人:试卷分类(A卷或B卷)A命题人:五邑大学试卷得分:在3中,定义兀2,屯)=(2旺一兀2一勺,兀2+勺,旺),则讯是否是疋上的线性变'换?如果是求出W在某一基下的矩阵,并求W的核与值域。(16分)1解:1)Va=(xpx2,x3),)ff=(yi9y2,y3)eR\kgR,则有盹+0)=田(q)+9?(0),田他)=佃3),所以W是疋上的线性变换o2)取疋的一组基卬=(1,0,0),&2=(0,1,0)43=(0,0,1),则眄)=(2,0,1)302)=(―1,1,0),刃G)=(71,0),所以‘2-1-1、9?(。]42,。3)=(。1,。2,。3)° 1 1 ,故W在该基卜的矩阵为A,1100丿<〔2-1-1、\A=Q1 1:L00?i:3)刃的值域为向量W(e)=(2,0,l),Wa)=(j,l,0)生成的子空间。1‘4)刃的核二{agR3151(6z)=0}={(7gR'IAa'=0},线性方程组Aa'=0的基础:解系为:(1)I,故刃的核是(kr/T\丘R}。:1-2丿得分4设〃是欧氏空间V屮一单位向量,定义刃(q)=q-2(〃,q)〃,证明W是正交变换。i,解:Vq,0wV,£w/?,有:讯(q+0)=(a+0)-2(7,a+0)帀=a—2(”, +J3-2(〃,0)r);i1 =ka-2(7;,ka)rj=ka-2k(r/.a)r/=k(a-2(rj,a)r/)=k^i(a);i*(\R(a),田(0))=(a-2(77,o)〃,0—2(77,0)77)=:a0)-2(77,0)(",0)-2(",0)(%〃)+4(",a)(〃,0)(77,〃):=a0)-2(774)(77,0)-2(7,0)a77)+4(7,a)(〃,0):=a〃)得分:证明对任意的MXA2矩阵A=(认“,若定义IIA归丈£|知I,贝山1•II是一种矩阵范I /=!;=1:数,但不是算子范数(从属于向量范数的矩阵范数)。(12分)T正明:由定义显然知I4 (1)IIA40,llAll=0o4=0;II, (2)IIkAIHk川AIII: (3)设A={aij)n,B=(bij)n 贝ljiaij+给ls££(lan1+®I)=EE1aJ+££如TAI+1BI1 /=!;=1 /=!j=l Z=1>1 /=!>1(4)设A={aij)n,B=(bij)n则i HH” “ ” ” ” ” ” H,IIAB11=工工»也I辽工(工如%X工工((工4l)(2MI))I /=1>1"1 /=!>1 Jl=l /=!>1 k=\ Jt=l:S(££qi)(££lb/)=IAIIBIi /=1k=\ Jt=l>1:所以II。II是矩阵范数: 下面说明它不是算子范数。如果它是算子范数,则存在某个向量范数1211〃,:使得; IIax||IIA11=max 、但是对单位矩阵rfti言,左边IIEII二m右边=1,孑盾。4 iixvoIIXIIp得分:四、(10分)匕是兀1=兀2=…=Xn的解空:设X是齐次线性方程组坷+兀2+•••+£=0的解空间,:间。则叫,%作为欧氏空间尺“(内积为通常内积)的子空间是正交的,且岭丄=岭:证明:叫的一组基为I: