文档介绍：高等数学电子教案武汉科技学院数理系第二节洛必达(L'Hospital)法则洛必达法则是求0/0,∞/∞,0*∞,∞-∞,1∞,00,∞0类型极限的有力工具.;0)(lim,0)(lim)1(????xgxfaxax定理1(0/0型)假设;0)(,)(),()2(??xgaxgxf且的某邻域内都可导在点函数Axgxfxgxfaxax??????)()(lim)()(lim则,)()(lim)3(Axgxfax????高等数学电子教案武汉科技学院数理系证明:我们补充定义f(a)=g(a)=0,有)()()()()()(agxgafxfxgxf???在区间[a,x]或[x,a]上应用柯西中值定理]),[(,)()()()()()(xagfagxgafxf?????????aax???,Axgxfgfxgxfaxxax???????????)()(lim)()(lim)()(lim???,但是需要注意以下问题:(1)只有不定式极限问题才能够运用洛必达法则,,若干次运用罗比达法则以后如果已经化为非不定式,就不能继续运用洛必达法则,)1(lim)2(;1)1(lim)1(10??????nnaxenxx解:(1)是0/0型的,用洛必达法则,得到aaxaxxaaxax???????????1100)01(1)1(lim1)1(lim)/1(/11lim11lim)1(lim111xyxeneenxxnnnn????????????(2)是∞0型的,可以化为0/??????yyyyeye高等数学电子教案武汉科技学院数理系例2求极限30sinlimxxxx??xxxxxxxxxx2sinlim3131coslimsinlim02030????????解:解此0/0型,连用三次洛必达法则可得到结果。在使用洛必达法则时,必须要检查是否是0/0型的。在计算中常犯的错误是没有满足0/0的条件。61sinlim610?????xxx高等数学电子教案武汉科技学院数理系(1)lim(),lim();xaxafxgx??????(2)函数f(x)与g(x)在点a的某邻域内(点a可以除外)都可导,且g'(x)≠0Axgxfax????)()(lim)3(Axgxfxgxfaxax??????)()(lim)()(lim则定理2(??型)设:高等数学电子教案武汉科技学院数理系例3求函数的极限tgxxx)2/ln(lim02?????)()2/ln(lim02x型?????tgxx??解:)(sec)2//(1202xlim型??????xx??)(2/cos202xlim型????????xx1)sin(cos2lim02xxx?????02sinlim02x????x?-高等数学电子教案武汉科技学院数理系(2)对于其他的形式可以通过恒等变形,.)1(000/1limlnlimlnlim)1(?????????axaxaxaxxxxxx解:)sin1sincos(lim)csc(lim)2(00xxxxctgxxx?????).csc(lim)2(;lnlim)1(00xctgxxxxax???例4求下列极限0lim10???????????xxxxxx高等数学电子教案武汉科技学院数理系例5求下列极限:21/00(1)lim;(2)lim(cos);xxxxxx????/1/1lim/1lnlimlnlim2000xxxxyxxx?????????解:(1)令y=xx,则lny=xlnx,再取极限,得到0lim0????xx0lnlim0???yx?1lim1lim000?????????xxxxey01(3)lim(1)xxx???高等数学电子教案武汉科技学院数理系ln00(1)limlimxxxxxxe?????也可以221lncos1/00(2)lim(cos)limxxxxxxe???xtgx2sec)(??0exp[lim(ln)]xxx???0201/exp[lim]11/xxex??????20lncosexp[lim]xxx??01exp[lim]exp[1]22xtgxx??????1/21ee???