文档介绍：二项式定理主讲:陈逸一、一周知识概述本周学习了二项式定理,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,“取特例”,求余数,、重难点知识归纳1、二项式定理: 这个公式所表示的定理叫作二项式定理. 对于二项式定理有5点注意事项: ①不得随意变更展开式中各项的顺序; ②二项展开式共有n+1项; ③系数依次为; ④a的指数从n起依次减少1,直到0为止,而b的指数以0起依次增加1,直到n为止; ⑤a、b可以是数,也可以是式(单项式,多项式分式,根式等).2、二项式定理中的几个名词: (1)二项展开式:二项式定理右边的式子,叫作二项展开式,它共有n+1个项(r从0取到n). (2)它的一般项的形式是,我们把它叫作二项展开式的通项. (3)我们把叫作二项式系数. 注意:二项式系数与展开式的系数不同,二项式系数是一个特指的一些数,、二项式系数的性质: (1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. (2)增减性与最大值:如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项系数相等并且最大. (3)二项展开式中的二项式系数和为2n,即. (4)二项展开式中奇数项与偶数项的二项式系数和相等,即. (5)“取特例”研究问题的数学方法是一个重要的方法,使用它对“任意”都成立的问题的探究与求解,在数学各章节中都有具体例子,它也是我们探究其它问题,寻找、、典型例题剖析例1、在二项式的展开式中,前三项的系数成等差数列,:本题是典型的特定项问题,涉及到前三项的系数及有理项,可以通过抓通项公式解决. 解:二项式的展开式的通项公式为. 前三项的r=0,1,2. 得系数为t1=1,,, 由已知,∴n=8. 通项公式为,r=0,1,2,…,8,Tr+1为有理项,故16-3r是4的倍数, ∴r=0,4,8. 依次得到有理项为. 点拨:本题通过抓特定项满足的条件,利用通项公式求出了r的取值,,的展开式中有多少项是有理项?可以通过确定通项中r的取值,、求证::利用二项式定理将576,657展开,使其成为7的倍数. 证明:; 又∴,、已知,求:(1)a1+a2+a3+…+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+:本题是有关展开式系数和的问题,通过对等式中字母的赋值,、1、-1等. 解:(1)取x=0可得a0=1, 取x=1得a0+a1+a2+a3+…+a7=(-1)7=-1. ∴a1+a2+a3+…+a7=-2. (2)取x=-1得a0-a1+a2-a3+…+a6-a7=37, 记A=a0+a2+a4+a6,B=a1+a3+a5+a7, ∴A+B=-1,A-B=37. 可得A=(37-1)=1093,B=-(1+37)=-1094. 从而a1+a3+a5+a7=-1094. (3)从(2)的计算已知a0+a2+a4+a6=、求(1+2x-3x2)5的展开式中的x5项的系数. 解法一:∵(1+2x-3x2)5=[1+(2x-3x2)]5 =1+5(2x-3x2)+10(2x-3x2)2+10(2x-3x2)3+5(2x-3x2)4+(2x-3x2)5 =1+5x(2-3x)+10x2(2-3x)2+10x3(2-3x)3+5x4(2-3x)4+x5(2-3x)5, ∴x5项的系数为上式各项中含x5项的系数和, 即. 解法二:∵(1+2x-3x2)5=(1-x)5·(1+3x)5 =(1-5x+10x2-10x3+5x4-x5)·(1+15x+90x2+270x3+405x4+243x5), ∴展开式中x5项的系数为243-5×405+270×10-10×90+5×15-1=、(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大和系数最大的项. 分析:根据已知条件可求出n,再根据n的奇偶数,确定二项式系数最大的项,系数最大的项则由不等式组确定. 解:. . ∴(1+2x)8的展开式中,二项式系数最大的项为. 又设第r+1项系数最大,则有又r∈N,∴r=5或r=6, 卷一、选择题1、将(x+y+z)10展开后,展开式中含x5y3z2项的系数为( )A. . 、的展开式中,不含x的项是( ) 、的展开式中含x2的项是( )