文档介绍：2019/11/18差值方法第十章插值与拟合方法建模2019/11/18差值方法在生产实际中,常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据,插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已经函数的参数,或寻求某个近似函数使之与已知数据有较高的拟合精度。插值与拟合的方法很多,这里主要介绍线性插值方法、多项式插值方法和样条插值方法,以及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。相应的理论和算法是数值分析的内容,这里不作详细介绍,请参阅有关的书籍。2019/11/18差值方法§1数据插值方法及应用在生产实践和科学研究中,常常有这样的问题:由实验或测量得到变量间的一批离散样点,要求由此建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。与此有关的一类问题是当原始数据),(,),,(),,(1100nnyxyxyx?精度较高,要求确定一个初等函数)(xPy?(一般用多项式或分段多项式函数)通过已知各数据点(节点),即nixPyii,,1,0,)(???,或要求得函数在另外一些点(插值点)处的数值,这便是插值问题。2019/11/18差值方法1、分段线性插值这是最通俗的一种方法,直观上就是将各数据点用折线连接起来。如果bxxxan??????10那么分段线性插值公式为nixxxyxxxxyxxxxxPiiiiiiiiii,,2,1,,)(11111???????????????可以证明,当分点足够细时,分段线性插值是收敛的。其缺点是不能形成一条光滑曲线。2019/11/18差值方法例1、已知欧洲一个国家的地图,为了算出它的国土面积,对地图作了如下测量:以由西向东方向为x轴,由南向北方向为y轴,选择方便的原点,并将从最西边界点到最东边界点在x轴上的区间适当的分为若干段,在每个分点的y方向测出南边界点和北边界点的y坐标y1和y2,这样就得到下表的数据(单位:mm)。2019/11/,18mm相当于40km。根据测量数据,利用MATLAB软件对上下边界进行线性多项式插值,分别求出上边界函数)(2xf,下边界函数)(1xf,利用求平面图形面积的数值积分方法—将该面积近似分成若干个小长方形,分别求出这些长方形的面积后相加即为该面积的近似解。iiniinxffS???????)]()([lim112??式中,],[1iiixx???。这里线性插值和面积计算源程序如下:2019/11/18差值方法clearallx=[];y1=[444547505038303034363441454643373328326555545250666668];y2=[4459707293100110110110117118116118118121124121121121122116838182868568];newx=7::158;newy1=interp1(x,y1,newx,'linear');newy2=interp1(x,y2,newx,'linear');Area=sum((newy2-newy1)*^2*1600)最后计算的面积约为42414平方公里。2019/11/18差值方法2、多项式插值设有m次多项式mmmmaxaxaxaxP???????1110)(?通过所有1?n个点),(,),,(),,(1100nnyxyxyx?,那么就有niyaxaxaxaimimmimi,,1,0,1110??????????可以证明当nm?且nxxx????10时,这样的多项式存在且唯一。若要求得到函数表达式,可直接解上面方程组。2019/11/18差值方法若只要求得函数在插值点处数值,可用下列Lagrange插值公式)()(,00????????nijjjijniinxxxxyxP多项式插值光滑但不具有收敛性,一般不宜采用高次多项式(如m>7)插值。