文档介绍：1第三章解线性方程组的迭代法? Jacobi 迭代法? Gauss-Seidel 迭代法?迭代法的收敛条件(充要条件, 充分条件)b Ax ?求?迭代法概述 2 ?迭代法概述 g Mx xb Ax????等价线性方程组取初始向量 x (0)?R n, 构造如下单步定常线性迭代公式),2,1,0( )()1(?????kg Mx x kk以此来产生近似向量序列 x (1), x (2), ... 当k充分大时, .* )(xx k??基本思想等价变形如何做收敛性条件 M : 迭代矩阵 30 || || lim )(????xx kk0 || || lim )(????AA kkxx kk???)( limAA kk???)( lim 定义对于 R n中的向量序列{x (k) }, 如果则称向量序列{x (k)}收敛于 R n中的向量 n阶方阵序列{A (k) }, 如果则称方阵序列{A (k)}收敛于 n阶方阵 A. ?上面两式通常表示成?向量序列与矩阵序列的收敛概念 4) (njxx j kjk,..., 2,1, lim )(????),..., 2,1,, lim )(njiaa ij k ijk????( 定理 R n中的向量序列{x (k)}收敛于 R n中的向量 x的充分必要条件是其中 x j (k)和x j分别表示 x (k)和x中的第 n阶方阵序列{A (k)}收敛于 n阶方阵 A的充分必要条件是?向量序列与矩阵序列收敛的充分必要条件?向量序列和矩阵序列的收敛可归结为对应分量或对应元素序列的收敛性. 5 ?若由迭代公式 g Mx x kk???)()1(产生的向量序列{ x (k) } 收敛于向量 x,则g Mx xg Mx x kk kk??????????)()1( lim lim 即向量 x 是方程 Ax =b的解.?单步定常线性迭代法产生的向量序列若收敛则必收敛到原线性方程组的解. 6??????????????????????? 4444 343 242 141 3434 333 232 131 2424 323 222 121 1414 313 212 1 11bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa ?n =4 的 Jacobi 迭代法把方程组改写成如下等价形式??????????????????????? 44 343 242 141 44 33 434 232 131 33 22 424 323 121 22 11 414 313 212 11/)( /)( /)( /)(axaxaxabx axaxaxabx axaxaxabx axaxaxabx b Ax ?g Mx x?? 7???????????????????????????44 )(343 )(242 )(141 4 )1(4 33 )(434 )(232 )(131 3 )1(3 22 )(424 )(323 )(121 2 )1(2 11 )(414 )(313 )(212 1 )1(1/)( /)( /)( /)(axaxaxabx axaxaxabx axaxaxabx axaxaxabx kkkk kkkk kkkk kkkk ?n =4 的 Jacobi 迭代法计算公式?,2,1,0?k 已知用上述迭代公式可算得???????????????)0(4 )0(3 )0(2 )0(1)0(x x x xx???????????????)(4 )(3 )(2 )(1)(k k k kkx x x xx?,2,1?k 8 ?n =4 的 Jacobi 迭代法矩阵表示 0 0 0 0 44 43 44 42 44 41 33 34 33 32 33 31 22 24 22 23 22 21 11 14 11 13 11 12?????????????????????????aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaaM )()1(g Mx x kk???????????????? 44 4 33 3 22 2 11 1ab ab ab abg 9 ? Jacobi 迭代法, 1)1(1)1(11in in iiii iiiiiibxaxaxaxaxa?????????????, 1)1(1)1(11in in iiiiiiii iibxaxaxaxaxa??????????????, 1 )1(1 )1(1 1 ii in ii in i ii iii ii ii ii iia bxa axa axa axa ax??????????????(k) (k)(k) (k)(k +1)),,2,1(ni???? Tkn kkkxxxx )()(2 )(