文档介绍：第二十五章无穷级数典型习题解答与提示
习题 25-1
1.(1); (2)。
,,级数的和为。
3.(1)提示,,,级数发散;
(2)提示,级数是公比的等比级数,级数是公比的等比级数,原级数收敛;
(3)因,
则
故,故级数收敛;
(4)因,故,
故由级数收敛的必要条件知,级数发散。
4.(1)错; (2)对; (3)错; (4)错。
习题 25-2
1.(1)级数发散;
(2)级数收敛;
(3)因,又因为级数是收敛的级数,
故由比较审敛法知,已知级数收敛;
(4)因,又级数是收敛的等比级数,故由比较审敛法知,级数收敛。
2.(1)级数发散;
(2)级数收敛;
(3)因,则,
即由比值审敛法知,级数收敛;
(4)因,则,
故由比值审敛法知,级数发散。
3.(1)因,
故,且,
故审敛,即已知级数绝对收敛;
(2)
故。
又,级数是收敛的级数,故由比较审敛法知,级数绝对收敛;
(3)因,
故,且级数发散,故由比较收敛法知,级数不
绝对收敛,但是,易知该级数满足莱布尼兹的条件,故该级数是条件收敛的交错级
数;
(4)因,故,
则,
故由比值审敛法,级数绝对收敛。
习题 25-3
1.(1)收敛区间为;
(2)收敛区间为;
(3)收敛区间为;
(4),收敛区间为;
(5)因,故,
则,收敛区间为;
(6)因,故,
即,收敛区间为;
(7)因,故,
即,收敛区间为,即,也即;
(8)令,则原级数可化为,因,
则,关于的幂级数的收敛半径,
即在内收敛;故原级数在内,即内收敛。
即所求收敛区间为。
2.(1)提示令,两边从积分,再求导即可,
;
(2)方法一因,令,
两边从两次积分,得
,
上式两边两次求导,得
即所求和函数为;
方法二因,
两边求导,得。
即,两边再次求导,得
即;
(3)令,两边求导,得
两边从积分,得
即
因,故;
(4)令,两边求导,得
两边再次求导,得
则上式从积分,得
,
上式两边再次从积分,得
。
,两边求导,得
,
上式两边从积分,得
由上级数的和函数知
当时,有,
则,
即。
* 习题 25-4
1.(1);
(2);
(3)提示,,
;
(4)因,又,
则
;
(5)因,
又,
则
;
(6)因,
又,
,则
。
2.(1)提示,
;
(2)
;
(3)
。
。
又。
则。
显然上式右端是一个收敛的交错级数,若取级数的前三项作为的近似值,则误差
为,
精确到了,达到了精确到要求,
即。
。
* 习题 25-5
1.(1)提示:由欧拉-傅里叶公式计算,
则的傅里叶级数为,
由收敛定理知
;
(2)因,由欧拉-傅里叶公式知
,
,
,
则的傅里叶级数为
且,由收敛定理知
;
(3)因,则由欧拉-傅里叶公式知
,
,
,
则所求傅里叶级数为
由收敛定理知
;
(4)因,
则由公式知:
,
即所求傅里叶级数为
且由收敛定理知
。
2.(1)因,是偶函数,则由公式知
,
,
即可得如下余弦级数
。
(2)因为奇函数,
则