张量分析课件张量分析课件第五章5协变基底矢量导数.ppt

文档介绍：(逆变)基底矢量导数在曲线坐标系中,在位置矢量x=xiii处的自然协变和逆变基底矢量是x的矢量函数:(-1)当位置矢量x处的张量在曲线坐标系的自然基底上表示时(如。即需要确定:),对张量的分析涉及到自然基底的导数为书写简明,记:(-2)因为是矢量,且可以在协变基底上线性表示,因此(-3)式中是矢量或称为rk上的坐标)。同理,在协变基矢量rk上的线性表示系数(也可以在逆变基底上线性表示为:(-4)定义:(-5)式中称为第一类和第二类Christoffel符号。由Chris-toffel符号,矢量可表示为:(-6)两个基本关系:.(-7a)(-7b)证:1.∵∴2.∵∴证毕。例9:证明:(-8)证:∵∴又∵∴Christoffel符号基本性质:1.(-9)2.(-10)3.(-11)证:1.∵∴:∴∵∴3.∵∴对一般曲线坐标系(-6)和(-8)式给出了协变基矢量和逆变基矢量的曲线坐标偏导数。当曲线坐标系是正交曲线坐标系时。由于:因此有:由(-10)式得:(-12)(-13)将当i,j,k=1,2,3时的值用h1,h2,h3表示时有:(-14)(-15)(-15)例10:试求柱坐标:(式中)的解:∵由(-14)、(-15)式得,除的偏导数为1外,其余的偏导数均为零。∴由(-6)式:得:例11:试求球坐标:(式中)的解:∵