文档介绍：,美国克雷(Clay)数学研究所公布了7个千禧数学问题。每个问题的奖金均为100万美元。其中黎曼假设被公认为目前数学中(而不仅仅是这7个)最重要的猜想。黎曼假设并非第一次在社会上征寻解答,早在1900年的巴黎国际数学家大会上,德国数学家希尔伯特列出23个数学问题(其中第8问题中便有黎曼假设(还包括孪生素数猜测和哥德巴赫猜想)。具体概述关于黎曼-希尔伯特问题是:具有给定单值群的线性微分方程的存在性证明。即:关于素数的方程的所有有意义的解都在一条直线上。内容方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质,例如,2,3,5,7,等等。这样的数称为素数;它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中,这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式;然而,德国数学家黎曼(1826~1866)观察到,素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s)的性态。著名的黎曼假设断言,方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。编辑本段理论形成来源几千年前人类就已知道2,3,5,7,31,59,97这些正整数。除了1及本身之外就没有其他因子,他们称这些数为素数(或质数Primenumber),希腊数学家欧几里德证明了在正整数集合里有无穷多的素数,他是用反证法证明、(读者可以参看拙著:《数学和数学家的故事》第一集里这个证明。)1730年,欧拉在研究调和级数:Σ1/n=1+1/2+1/3+...+1/n.....。(1)时,发现:Σ1/n=(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)(1+1/5+1/5^2+...)......=Π(1-1/p)^-1。(2)其中,n过所有正整数,p过所有素数,但稍加改动便可以使其收敛,将n写成n^s(s>1),即可。如果黎曼假设正确:Π(x)=Li(x)+O(x^1/2*logx).。(3)证明了上式,即证明了黎曼猜想。为什么:π1/(1-1/P)={1/(1-1/2)}×{1/(1-1/3)}×{1/(1-1/5)}×.......=Σ1/n=1+1/2+1/3+1/4+,,,,。(4)因为:1/(1-r)=1+r+r^2+r^3+r^4+......。(5)所以:1/(1-1/2)=1+1/2+(1/2)^2+(1/2)^3+(1/2)^4+......1/(1-1/3)=1+1/3+(1/3)^2+(1/3)^3+(1/3)^4+......1/(1-1/5)=1+1/5+(1/5)^2+(1/5)^3+(1/5)^4+..............................................右端所有第一项的“1”相乘得到:“1”;右端第一行1/2与其它行第一项的“1”相乘得到“1/2";...................把所有加起来就是:1+1/2+1/3+1/4+........在证明素数定理的过程中,黎曼提出了一个论断:Zeta函数的零点都在直线Res(s)=1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了,因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决,甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设,则可带动许多问题的解决。黎曼ζ函数黎曼在1858年写的一篇只长8页关于素数分布的论文,就在这论文里他提出了有名的黎曼猜想(RiemannsHypoth-esis)。这猜想提出已有一百多年了,许多有名的数学家曾尝试去证明,就像喜欢爬山的人希望能爬上珠穆朗玛峰一样——因为它的顶峰非常困难到达,目前已有人登上这世界高峰,可是却没有人能证明这猜想~那么这个让上帝如此吝啬的黎曼猜想究竟是一个什么样的猜想呢,在回答这个问题之前我们先得介绍一个函数:黎曼ζ函数。这个函数虽然挂着黎曼的大名,其实并不是黎曼首先提出的。但黎曼虽然不是这一函数的提出者,他的工作却大大加深了人们对这一函数的理解,为其在数学与物理上的广泛应用奠定了基础。后人为了纪念黎曼的卓越贡献,就用他的名字命名了这一函数。那么究竟什么是黎曼ζ函数呢,黎曼ζ函数ζ(s)是级数表达式(n为正整数)ζ(s)=?nn^-s(Re(s)>1)在复平面上的解析延拓。之所以要对这一表达式进行解析延拓,是因为-如我们已经注明的-这一表达式只适用于复平面上s的实部Re(s)>1的区域(否则级数不收敛)。黎曼找到了这一表达式的解析延拓(当然黎曼没有使用“解析延拓”这样的现代复变函数论术语)。运用路径积分,解析延拓后的