文档介绍：逆矩阵的求法 082086107 李盼盼 1. 引言矩阵理论是线性代数以及高等代数的核心内容,无论是二次型,,掌握矩阵理论是学好线性代数必不可少的条件. 而求逆矩阵在矩阵中占有重要地位. 所以,笔者详细归纳了一系列的求解方法,并力求在某些方法的基础上推广逆矩阵的求法或找到一种新的求法. ,人们在研究行列式的性质和计算时,提出了对角矩阵的概念,由于计算机的发展,更是为矩阵对角化的应用开辟了广阔的前景,它经常出现在诸如可用于求解微分方程组,用于研究数理统计量的分布,还有用于研究集合曲面的标准形等不同的科技领域中,,在本文中就运用了此法. 2. 主要内容定义 1n 阶方阵 A 是可逆的,如果有 n 阶方阵 B , 使得 AB BA I ? ?, 这里 I 是n 阶单位矩阵, B 就称为 A 的逆矩阵,记为 1 A B ??关于逆矩阵的求法经归纳大致分为以下几类. 利用矩阵可逆的定义求逆矩阵引理 设F 是一数域,对于 n n A F ??,如果存在 n n B F ??,使得 AB BA ?,则 A 可逆且 1 A B ??证明由逆矩阵的定义可得例1已知 n n A F ??,设 2 8 0 A A I ? ??,求2 A I ?的逆矩阵解因为 2 8 0 A A I ? ??,故有 2 6 2 A A I I ? ??,即???? 2 3 2 A I A I I ? ??,那么,所以???? 11 2 3 2 A I A I ?? ??,即2 A I ?的逆矩阵是?? 1 3 . 2 A I ?从此例子可看出,只要有 AB I ?,则有 1 A B ??,或者 BA I ?,则 1. A B ?? 利用伴随矩阵求逆矩阵引理 设 n n A F ??,若 det( ) 0 A?,那么?? 11 *. det A A A ??证明设?? 1n?阶矩阵 11 12 1 2 21 22 1 2 nn n n nn a a a a a a A a a a ? ?? ?? ??? ?? ?? ???? ???由行列式等于它的任意一行(列)的所有元素与它们对应代数余子式的乘积的和,以及行列式的某一行(列)的元素与另外一行(列) 的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零,以下等式成立: ???? 1 1 2 2 1 1 2 2 det , , 0, ; det , , 0, . i j i j in jn i j i j ni nj A i j a A a A a