文档介绍：新东方在线[ ]考研数学网络课堂电子教材系列强化班高数-1- 第一章函数极限、连续§ 函数(甲) 内容要点一、函数的概念 1. 定义)(xfy?,Ix? x 为自变量, y 为因变量或称为函数值 yxf?: 为对应关系自变量在定义域里面取值的时候,所有的函数值的全体就称为值域。口诀( 1) :函数概念五要素;对应关系最核心。 2. 分段函数(考研中用得很多) 例1:1, 1,13 )( 2???????x xx xxf 例2:0, 0,???????x xx xx 例3:1, 10, 0,),, max( 3 232??????????x x xx x xxxx 口诀( 2) :分段函数分段点;左右运算要先行。 3 .反函数例: 2xy?的反函数 yx??由于不单值,所以要看作 yx?和yx??,它们的图像与 2xy?一致。新东方在线[ ]考研数学网络课堂电子教材系列强化班高数-2- 如果改变符号,写成 xy?和xy??,那么它们的图像要变。 4 .隐函数 0),(?yxF 确定 y与x 的函数关系有些隐函数能化为显函数,例: 1 22??yx ,21xy??和21xy???。另外有些隐函数则不能化为显函数。例: 05)23 sin( ?????yxe yx 二、基本初等函数的概念、性质和图像(内容自己复习参考书,这里仅举例说明其重要性) 例1 :考察 x x x x arctan lim )( )(????????xy arctan ?的图像例2 :考察 10 lim xxe ??因为?????) 1( lim 20x x 指数函数 xey?的图像新东方在线[ ]考研数学网络课堂电子教材系列强化班高数-3- 因此0 lim 10??? xxe 三、复合函数与初等函数 1. 复合函数(i )已知)(xf ,)(xg ,求)]([xgf ( ii )已知)]([xgf ,)(xg ,求)(xf 2. 初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算用一个表达式表示的函数原则上来说,分段函数不是初等函数四、考研数学中常出现的非初等函数 1 .用极限表示的函数(1)?? xfy nn??? lim (2)?? xtfy xt, lim ?? 2 .用变上、下限积分表示的函数(1)????? xadttfxFy)( 其中?? tf 连续,则?? xfdx dy?(2)????????? xxdttfxGy)( ??其中?? x 1?,?? x 2?可导, ?? tf 连续, 则???????????? xxfxxfdx dy 1122????????口诀( 3) :变限积分是函数;出现之后先求导。五、函数的几种性质 1 .有界性: (i) 定义: 设函数?? xfy?在X 内有定义, 若存在正数 M ,使Xx?都有?? Mxf?, 则称?? xf 在X 上是有界的。( ii )例: x xf 1)(?在( 0,1 )内无界,在( 1/2 ,1 )内有界 2 .奇偶性: 新东方在线[ ]考研数学网络课堂电子教材系列强化班高数-4- (i) 定义: 设区间 X 关于原点对称, 若对Xx?, 都有???? xfxf???, 则称?? xf 在 X 上是奇函数。若对Xx?,都有???? xfxf??,则称?? xf 在X 上是偶函数。( ii )图像对称性:奇函数的图象关于原点对称;偶函数图象关于 y 轴对称。常用公式: 为偶函数当为奇函数当f f)(2 0)( 0????????? a aadxxf dxxf 口诀( 4) :奇偶函数常遇到;对称性质不可忘。 3 .单调性: (i )定义:设?? xf 在X 上有定义,若对任意 Xx? 1 ,Xx? 2 ,21xx?都有?????????? 2121xfxfxfxf??则称?? xf 在X 上是单调增加的[ 单调减少的]; 若对任意 Xx? 1 ,Xx? 2 ,21xx?都有?????????? 2121xfxfxfxf??, 则称?? xf 在X 上是单调不减[ 单调不增] (注意:有些书上把这里单调增加称为严格单调增加;把这里单调不减称为单调增加。) ( ii) 判别方法:在(a,b)内,若0)(??xf ,则)(xf 单调增加;若0)(??xf , 则单调减少。口诀( 5) :单调增加与减少;先算导数正与负。 4 .周期性: (i) 定义:设?? xf 在X 上有定义, 如果存在常数 0?T , 使得任意 Xx?,XTx??, 都有???? xfTxf??,则称?? xf 是周期函数,称 T 为?? xf 的周期。由此可见,周期函数有无穷多个周期,一般我们把其中最小正周期称为周期。( ii)例:)0( sin )(????xxf 周期为??2?T ;3 cos 2 sin )