文档介绍：:..数值分析第一次上机练****实验报告 •设f(x)= ,兀w[-1,1],取X.=-1+—,i=0,1,2,…,+9x~ l」 5值多项式厶。(%)和三次样条插值函数S(x)(采用白然边界条件),并用图画出f(兀),LI0(x),S(x).二、 方法描述 Lagrange插值与三次样条插值•1我们取X,.=-1+-,/=0,1,2,...,10,通过在兀•点的函数值/(%,)=——來对原函数5 1进行插值,我们记插值函数为要求它满足如下条件:g(A)=/(%)=仃打心0丄2,...,10(1)f(x)=我们在此处耍分别通过Lagrange插值(即多项式插值)与三次样条插值的方法对原函数时进行插值,看两种方法的插值结果,并进行结果的比较。10次的Lagrange插值多项式为:10厶(心)=工)仏⑴/=0以及i=0丄2,・・・」0我们根据(2)进行程序的编写,我们可以通过儿个循环很容易实现函数的Lagrange插值。理论上我们根据区间[-1,1]±给出的节点做出的插值多项式Lft(x)近似于/(%),而多项式厶(兀)的次数〃越高逼近/(x)的精度就越好。但实际上并非如此,而是对任意的插值节点,当m+oo的时候Ln(x)不一定收敛到/(x);而是有时会在插值区间的两端点附近会出现严重的Lt(x)偏离/(无)的现象,即所谓的Runge现象。因此用髙次插值多项式Ln(兀)近似/(%)的效果并不总是好的,因而人们通常在选择插值方式的时候不用高次多项武插值,而用分段低次插值,而这样的插值效果往往是非常好的,能够克服高次多项式插值的弱点,达到令人满意的效果。分段低次插值包插分段线性插值、分段三次Hermite插值、三次样条插值筹。前两种插值函数都具有一致收敛性,但是光滑性较差,而在实际问题屮我们往往要求函数具有二阶光滑度,,我们得到的杲一个样条曲线,它是由分段三次曲线拼接而成,在连接点(即样点)上二阶导数连续。我们记三次样条插值函数为5(a),它在每个小区间]a7,x.+1],j=0,1,2,...,9±是三次函数,因此在每个区间上需要确定4个参数,总共有10个小区间,因此共需确定40个未知参数。首先我们有插值条件:5(x)=v.=-― ,j=0,1,2,...,10 ⑶v7 7 1+9巧其次在每个节点= 上满足连续性条件:s(f—0)=S(©+0),S'(9—0)=S'(®+0),S”(y—o)=s”(»+0)⑷此外在端点处满足自然边界条件:S“(x°)=S”(_l)=0,S”do)=S“(l)=O (5)我们假设S”(xJ=MjJ=0,l,2,・・・,10。则在每个小区间[xy,x.+1],j=0J,2,...,9±:S(x)=:」,j=0J,2,...,9及hJ=勺+1一Xj我们利用边界条件⑶⑷⑸可以得到:”jMj_\+2Mj+AjMj+l=drj=1,2,...,9其中::=——: ,/I:= 7J/?..+/?.Mo=M|o=O以及两端点处的边界条件为:将边界条件写成矩阵形式为:‘2A)、仏、“ 2入••