文档介绍：拉普拉斯变换与拉普拉斯反变换自动控制系统所涉及的数学问题较多,经常要结算一些线性微分方程。按照一般方法解算比较麻烦,如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程,可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算,又能够单独地表明初始条件的影响,并有变换表可查找,因而是一种较为简便的工程数学方法。 1、拉普拉斯变换(简称拉氏变换) 的定义如果有一个以时间 t 为自变量的实变函数( ) f t ,它的定义域是 0t?,那么( ) f t \的拉普拉斯变换定义为 0 ( ) [ ( )] ( ) st F s L f t f t e dt ????(1) 式中,s 是复变数, s j ? ?? ?(σ、ω均为实数), 0 ste ???称为拉普拉斯积分; ( ) F s 是函数( ) f t 的拉普拉斯变换,它是一个复变函数,通常也称( ) F s 为( ) f t 的象函数,而称( ) f t 为( ) F s 的原函数;L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。式( 1 )表明:拉氏变换是这样一种变换,即在一定条件下,它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数( ) F s 。所以, 拉氏变换得到的是复数域内的数学模型。 2 、几种典型外作用函数的拉氏变换(1)单位阶跃函数 1( ) t 的拉氏变换 0 ( 0) 1( ) 1 ( ) ttt ?????拉氏变换得 0 01 ( ) [1( )] 1( ) st st F s L t t e dt e s ?? ??? ? ???当 Re( ) 0 s?,则 lim 0 stte ????。所以 0 1 1 1 [1( )] [0 ( )] st L t e s s s ? ??? ????(2)单位脉冲函数( )t?的拉氏变换[ ( )] 1 L t ??(3)单位斜坡函数 t 的拉氏变换 0 ( 0) ( ) ( 0) t f t t t ??????拉氏变换式 0 ( ) st F s te dt ????利用分部积分法?? 0 0 udv uv vdu ? ?? ?? ?令, st t u e dt dv ?? ?则1, st dt du v e s ?? ??所以 001 ( ) st st t F s e e dt s s ??? ?? ???? ? ??? ?? ?? ????当 Re( ) 0 s?时, lim 0 stte ????,则20 1 1 ( ) 0 st F s e dt s s ??? ? ??(4)单位加速度函数的拉氏变换 2 0 ( 0) ( )1 ( 0) 2 t f t t t ??????