第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷 （数学类,2010）.pdf

文档介绍：专业: 年级: 线所在院校: 封密身份证号: 姓名: 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷(数学类,2010) 考试形式: 闭卷 考试时间: 150 分钟 满分: 100 分. 题号一二三四五六七八总分满分 10 15 10 10 15 20 10 10 100 得分注意: 1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边,写在其它纸上一律无效. 2 、密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记. 3 、如当题空白不够,可写在当页背面,并标明题号. 一、(本题共 10 分)设(0,1) ε∈, 0 x a = , 1 sin nn x ax ε+ = + 0,1, 2 ). n = ?(证明 lim n n x ξ→+∞= 存在, 且ξ为方程 sin x xa ε?= 的唯一根. 二、(本题共 15 分)设. 证明 010 30 0 0 2010 00 0 B ????= ?????? 2 X B = 无解,这里 X 为三阶未知复方阵. 得分评阅人得分评阅人第 1 页( 共 6 页) 得分评阅人三、(本题共 10 分)设 是凸区域,函数 2 D ? R (,) f xy 是凸函数. 证明或否定: (,) f xy 在 D 上连续. 注:函数(,) f xy 为凸函数的定义是(0,1) α?∈以及 11 22 (,),(,) x yxyD ∈ 2 ) , 成立 121), 12 2 ( ( (1)) (, (, 1 1)(1) f xx yyfx fx y y ααααα+? +?≤α+?. 第 2 页( 共 6 页) 专业: 年级: 线所在院校: 封密身份证号: 姓名: 四、(本题共 10 分) 设() f x 在[ ] 0,1 上 Riemann 可积, 在 1 x = 可导, (1) 0 , (1) f f a ′= = . 证明: 1 2 0 lim ( ) n n nxfxdx →+∞. a = ?∫五、(本题共 15 分)已知二次曲面(非退化)过以下九点: ∑(1,0,0), A (1, 1, 2), B (1, 1, 2), C ??(3 ), D , 0, 0 (3,1, 2), E (3, 2, 4), F ??(0,1, 4), G (3, 1, 2), H ??(5, 2 2, 8). I 问∑是哪一类曲面? 得分评阅人得分评阅人第 3 页( 共 6 页) 六、(本题共 20 分) 设为 n A n × 实矩阵(未必对称) ,对任一维实向量 n T α 1(,, 0 n A ααα), α= ≥…( 这里 T α表示α的转置) , 且存在 n 维实向量β使得 T 0 ββ A = . 同时对任意维实向量 n