文档介绍：第四章
数字特征与特征函数
前面介绍了随机变量与分布函数。分布函数能完善地描述随机变量的统计特性,它给出了随机变量的取值范围和取值概率。但是对一个具体的随机变量,要确定它的分布函数往往是很困难的。在实际问题中,有时并不要求全面地知道随机变量的统计规律,而只要了解几个特征值就够了,因而无需求出它的分布。
例如:工厂生产了一批灯泡,每个灯泡的使用寿命是不一样的,是个随机变量。我们感兴趣的是这批灯泡的平均寿命。除了平均寿命以外,还要了解这批灯泡中各灯泡的使用寿命与平均寿命的离差情况,偏离程度大,说明产品质量不稳定,偏离程度小,说明产品质量稳定。
此外,对于某些分布,如二项分布、正态分布等,只要知道了它们的一些特征值,其分布也就完全确定了。
§4-1 数学期望
§4-2 方差
§4-3 离势系数、矩、偏态系数及峰度系数
§4-4 多元随机变量的数字特征
§4-5 特征函数
§4-1 数学期望
离散型随机变量的数学期望
连续型随机变量的数学期望
随机变量函数的数学期望
数学期望的性质
众数和中位数
离散型随机变量的数学期望
有甲、乙两个射手,各进行10次射击,结果如下表。试问哪位射手成绩更好些?
计算他们命中的平均环数。
甲:
乙:
环数
10
9
8
7
甲
5
2
1
2
乙
3
4
2
1
以概率作为权重的加权平均数就称为数学期望。
设X为一离散型随机变量,它的概率分布为P(X= )= pi , i=1,2,…
例: 设随机变量服从参数为 p 的(0-1)分布,即P(X=1)=p , P(X=0)=1-p=q ,试求的X数学期望。
解:X数学期望为
下面给出二项分布和泊松分布的数学期望
二项分布:
泊松分布:
连续型随机变量的数学期望
设X为具有密度函数f(x)的连续型随机变量,
若积分
绝对收敛(即)
则称它为X的数学期望(或均值)。即
例:设随机变量X服从正态分布,
试求E(X)。
解:X的分布密度为: