文档介绍：
。
解(1),S上运算*定义为:对任意。那么
构成一个代数结构。
(2)G={1,3,4,5,9}, 运算*为模 11 乘( 两数乘积结果除以 11 取余数), 即运算*由表给定。*为 G 上二元运算, 且满足交换律、结合律。<G,*>为一代数结构。
表
*
1
3
4
5
9
1
1
3
4
5
9
3
3
9
1
4
5
4
4
1
5
9
3
5
5
4
9
3
1
9
9
5
3
1
4
(3) 整数集合I上*和运算分别定义为: 对任意,
,
且运算*和分别满足交换律、结合律,*对满足分配律。<I,*, >构成一代数结构。
2. 设 S = {a,b,c,d,e},S上运算*:
计算(a*b)*C和a*(b*c),由计算结果可否断定*运算满足结合律?
计算(b*d)*c和b*(d*c),由计算结果可否断定*运算满足结合律?
运算满足交换律吗? 为什么?

*
a
b
C
d
e
a
a
b
C
b
d
b
b
C
a
e
C
C
C
a
b
b
a
d
b
e
b
e
d
e
d
b
a
d
C
解(1) 由运算表有(a*b)*C=b*c=a,a*(b*c)=a*a=a。
仅由此计算结果不能判定*运算满足结合律,因为在此S集合中,a,b,c 为三个特定元素。
(2)(b * d)*c=e*c=a,b*(d*c)=b*b=c。即(b*d)*c≠b*(d*c)。由此计算结果可以判定*运算不满足结合律。
(3)运算不满足交换律。因为e*b=b,b*e=c,即e*b≠b*e。
事实上,当运算*满足交换律时,其运算表应该是关于主对角线对称的。
*满足结合律与交换律,证明: 对S中任意元素a,b,c,d 有
(a*b)*(c*d )=((d*c)*a)*b
证由于 S 上运算*满足交换律与结合律,因此,对 S 中任意元素a,b,c,d,
(α*b)*(c*d)=(α* b)*(d*c)
=(d*c)*(a*b)=((d*C)*α)*b
4. 已知 S 上运算*满足结合律, 并且满足:若x*y=y*z,则x=:对一切 xS有x*x=x(此种元素称为等幂元素,因而上述〈S,*〉所有元素都是等幂元素)。
证由于 S 上运算*满足结合律,因此对任意xS有(x*x)*x=x*(x*x)。若令y=x*x,则有y*x=x*y,于是由前提知x=y,即x*x=x。即<S,*> 中所有元素都是等幂元素。
,问可定义多少个S上的二元运算?可定义多少个S上的满足交换律的二元运算?
解 S有n个元素,S的每一个二元运算均对应一个运算表,即n×n阶矩阵,其中每一个元素均为S中任意元素,故可定义(或=个 S 上二元运算。当运算满足交换律时,其运算表应该是关于主对角线对称的,因此 S 上的满足交换律的二元运算个数等于关于主对角线对称的n×n阶矩阵的个数,有n++…+=个。
6. 完成下列运算表(),使之定义的运算满足结合律。