2003年北京市夏季高考数学试题分析(节选).doc

文档介绍：2003年北京市夏季高考数学试题分析(节选)
清华同方教育技术研究院数学所薛文叙(特级教师)
2003高考北京卷第19题
有三个新兴城镇,分别位于A,B,C三点处,且AB=AC=a,BC=,为同时方便三镇,准备建在BC的垂直平分线上的P点处.(建立坐标系如图)
(Ⅰ)若希望点P到三镇距离的平方和为最小,点P应位于何处?
(Ⅱ)若希望点P到三镇的最远距离为最小,点P应位于何处?
(Ⅰ)解:由题设可知,.记,设P的坐标为,则P至三镇距离的平方和为
,
所以,当时,函数取得最小值.
答:点P的坐标是.
(Ⅱ)解法一:P至三镇的最远距离为
由解得 ,记,于是
当≥0,即h≥b时,因为在上是增函数,而在上是减函数,
由此可知,当时,函数取得最小值.
当,即时,函数在上,当时,取得最小值,而在上为减函数,且.
可见,当时,函数取得最小值
答:当h≥b时,点的坐标为;
当时,点的坐标为,其中.
解法二:P至三镇的最远距离为
由解得 ,记,于是
当,即时,函数的图象如图(a),因此,
当时,函数取得最小值.
当,即时,函数的图象如图(b),因此,
当时,函数取得最小值.
答:当h≥b时,点的坐标为;
当时,点的坐标为,其中.
解法三(略) 见《问答与导学》高三2003年第三期
本题是能力立意、发展性的好题,主要考查函数,不等式等基本知识;考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力;特别突出对数学核心能力——逻辑思维能力的考查,同时也考察考生理解现实问题、建立简单模型的能力.
题目有深刻的应用背景,属于运筹学中最优选址问题,,体现了大学对中学数学教学的要求,:对数学的理解应更拓宽,,用数学工具解决实际问题,,,,探究味道浓,发散思维要求高.