文档介绍：2004年线性代数参考题综述
李永乐
今年线性代数共有20个考题,但数学一与数学二有4个题完全一样,,而数学三与数学四有一个题完全一样,实际上有14个不同的考题,所涉及的知识点有:
含参数的3阶、4阶及n阶行列式的计算,通过矩阵方程转换到抽象行列式的计算.
矩阵方幂的计算(涉及相似、分块、对角等)、初等矩阵性质的运用、矩阵等价、AB = 0、正交矩阵几何意义、秩的概念与性质.
含参数向量的线性表出、由矩阵秩判断向量组线性相类.
齐次、非齐次线性方程组求通解、解的性质的运用、基础解系中向量个数的判定与求法.
求矩阵的特征值与特征向量、相似对角化的判定与计算、实对称矩阵特征值性质、由特征向量反求矩阵A.
二次型的秩
纵观04年考题,难度上比03年略有下降,要重视对基本概念、基本方法及原理的考核,注重知识点的衔接与转换,,有些同学复习备考不扎实、有动手晚仓猝上阵之嫌,有的考生计算能力实在太差,基本计算错误屈层出不穷,也有些同学在概念、原理的理解上有偏差,逻辑推理不严谨,…….下面通过对几个考题的分析,希望对05年考研同学如何复习线代能有所帮助.
例1 (04,4)设,,其中P为3阶可逆矩阵,则=______________.
 
[分析] 本题考查n阶矩阵方幂的计算.
因为
利用分块矩阵的方幂
易知
从而
那么,由有
因此
故
 
例2 (04,)设矩阵,矩阵B满足,其中A*为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则|B|=_____________.
[分析] 由于,易具本题|A| = 3,用A右乘矩阵方程的两端,有

又因,故|B|=
[评注] 填空题难度不大,计算量也不会太大,主要考查考生对基本概念、定义、公式、基本定理、基本性质和基本方法的识记、理解、,,不能华而不实,浮燥.
例3 (04,)设A,B为满足AB = 0的任意两个非零矩阵,则必有
(A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关
(B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关
(C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关
(D)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关[ ]
[分析] 设A是矩阵,B是矩阵,且AB = 0,那么
由于A、B均非零矩阵,故.
由秩的列秩,知A的列向量组线性相关.
由秩的列秩,知B的行向量组线性相关.
故应选(A)
例4 (04,)设n阶矩阵A与B等价,则必有
(A)当|A| = a 时,|A| = a
(B)当|A| = a 时,|B| = a
(C)当|A|时,|B| = 0
(D)当|A| = 0时,|B| = 0
[分析] 所谓矩阵A与B等价,即A经初等变换得到B,而A与B等价的充分必要条件是A与B有相同的秩.
经过初等变换行列式的值不一定相等,,若把矩阵A的等1行乘以5得到矩阵B,那么A与B等价,而|A| = a时,|B| = 5a,可知(A)与(B)均不正确.
若|A|,说明,而|B| = 0说明与A、B等价有相同的秩不