文档介绍：2006年春季学期《线性代数》期末复习大纲
一、考试形式:闭卷
二、参考书:课本,杨荫华版
三、试卷结构
题型包括选择、填空和计算题。其中,选择4道20分,填空4道20分,大题3道60分。
四、复习要求
1、复习基础知识
在复习过程中,我们一定要把教材中提到的基础知识复习一遍,掌握每个关键知识点的含义。基本概念理解不透彻,,还要研究它的外延,要理解正面的含义,还要思考、理解概念的侧面、反面。
例如关于矩阵的秩,教材中的定义是:A是sXn矩阵,若A中有一个r阶子式不为零,所有r阶以上子式(如果它还有的话)均为零,则称A的秩为r,记成rank(A)=r(或r(A)=r,秩A=r).
显然,定义中内涵的要点有:
;
.
+1子式都为零,则必有所有r阶以上子式均为零.
要点2和3是等价条件,至于r阶子式是否可以为零?小于r阶的子式是否可以为零?所有r-1阶的子式是否可以全部为零?这些都是秩的概念的外延内容,如果这些概念搞清楚了。那么下述选择题就会迎刃而解.
例1 设A是m×n矩阵,r(A)=r<MIN(M,N),则A中( )
(A)至少有一个r阶子式不为零,没有等于零的r-1阶子式.
(B)有不等于零的r阶子式,没有不等于零的r+1阶子式.
(C)有等于零的r阶子式,没有不等于零的r+1阶子式.
(D)任何r阶子式不等于零,任何r+1阶子式都等于零.
答案:(B)
,相反要抓问题的实质,,很多方法可以通过练住,例如一个实对称矩阵,一定存在正交矩阵,通过正交变换化为对角阵,其步骤较多,但通过练习,不难解决.
,离不开计算,计算要熟练,当然要做一定数量的习题,通过一定数量的习题,,自觉的提高运算能力,提高运算的准确性,,运算并不复杂,大量的运算是大家早已熟练了的加法和乘法,从而养成良好的运算习惯和科学作风显得尤为重要。例如线性代数的前四章中(行列式、矩阵、向量、方程组)、求逆矩阵、求向量组(或矩阵)的秩、求向量组的极大线性无关组、,一旦初等变换过程中出现某个数值计算错误,那你的答案将是什么样的结果?从历届数学试题来看,每年需要通过计算得分的内容均在70%左右,,只看不练,眼高手低,专找难题做,这并不适合一般考生的情况,在
历次考试中,不乏有教训惨痛的人.
2、活用概念
线性代数中概念多、定理多、符号多、运算规律多,内容相互纵横交错,知识前后紧密联系是线性代数课程的特点,所以我们应通过全面系统的复习,充分理解概念,掌握定理的条件、结论及应用,熟悉符号的意义,掌握各种运算规律、计算方法,并及时进行总结,抓联系,抓规律,使零散的知识点串起来、连起来,使所学知识融会贯通,实现一个“活”字.
五、知识复习
第一部分线性代数中的最基本概念
基础比较好的考生可不必看这部分内容,或者只用本部分的习题对自己进行一次测试.
(1)基本概念
矩阵是描写事物形态的数量形式的发展.
由m´n个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个m´,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素.
元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.
两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.
(2)线性运算和转置
加(减)法:两个m´n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m´n矩阵,记作
A+B (A-B),法则为对应元素相加(减).
数乘: 一个m´n的矩阵A与应该数c可以相乘,乘积仍为m´n的矩阵,记作cA,法则为A的每个元素乘c.
这两种运算统称为先性运算,它们满足以下规律:
①加法交换律: A+B=B+A.
②加法结合律: (A+B)+C=A+(B+C).
③加乘分配律: c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA.
④数乘结合律: c(d)A=(cd)A.
⑤ cA=0Û c=0 或A=0.
转置:把一个m´n的矩阵A行和列互换,得到的n´m的矩阵称为A的转置,记作A T(或A¢).
有以下规律:
①(AT)T= A.
②(A+B)T=AT+BT.
③(cA)T=(cA)T.
(3) n