文档介绍：2007年高考数学《考试大纲》解读之二
三、重视创新思维,拓展数学视野
创新意识是理性思维的高层次表现,对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”,是发现问题和解决问题的重要途径。高考对创新意识的考查,主要是要求考生不仅仅能理解一些概念、定义,掌握一些定理、公式,更重要的是能够应用这些知识和方法去解决数学和现实生活中的比较新颖的问题。
数学创新题是相对于传统的命题方式而言的,这类题目没有明确的条件或结论,或解题方向不明,自由度大,具有相当大的不确定性,需要通过对问题的观察、分析、类比、归纳等处理过程方能解决。其难度大,要求高,是训练和考查学生的数学思维能力、分析问题和解决问题能力的好题型。数学创新题以“问题”为核心,以“探究”为途径,以“发现”为目的,为高层次思维创造了条件,是挖掘、提练数学思想方法,充分展示应用数学思想方法的良好载体,所以在高考试题中所占的比重会越来越大。
常见的创新题型主要有:(1)探究型创新题、(2)开放型创新题、(3)定义信息型创新题、(4)类比归纳型创新题等。
探究型创新题是探究问题的解决方法,常常以实际背景出现,主要考查学生的综合素质与创新精神,是创造力的体现。解答时应注意抓住有限的(或隐含的)题设条件,通过联想创造性地运用知识,设计出解决问题的方法,化归与转化是解决这类问题的常用的数学思想。如:
★在平面直角坐标系xoy中,直线l与抛物线相交于A、B两点。
(1)求证:“如果直线l过点T(3,0),那么”是真命题;
(2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由。
分析:本例形式比较新颖,以四种命题为“外衣”,综合考查向量、直线与抛物线的位置关系等核心内容。直线方程y=k(x-a)+b与x=t(y-b)+a这两种形式,前者是过A(a,b)的直线系,但末包含与x轴垂直的直线,后者也是过A(a,b)的直线系,但末包含与y轴垂直的直线,因此要避开本题的讨论可设直线方程为x=ty+3,这样既缩减了运算量,又使解题过程简练而到位。
★[06高考福建理16]如图,连结△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1,又连结的△A1B1C1各边中点得到△A2B2C2,如此无限继续下去,得到一系列三角形:△ABC,△A1B1C1,△A2B2C2,…,这一系列三角形趋向于一个点M,已知A(0,0) ,B(3,0),C(2,2),则点M的坐标是.
分析:本题看似极限问题,实质就是求△ABC的重心坐标,根据三角形的重心坐标公式不难得到点M的坐标。
★[06高考福建理21]已知函数f(x)=-x+8x,g(x)=6lnx+m
(Ⅰ)求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);
(Ⅱ)是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由。
分析:本题中的第二问函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,实质就是函数j(x)=g(x)-f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。由已知得j(x)=x2-8x+16ln x+m,
∴=2x-8+
当x∈(0,1)时,>0,j(x)是增函数;当x∈(1,3)时,<0,j(x)是减函数;当x∈(3,+∞)时,>0,j(x)是增函数;当x=1,