文档介绍：?1. 逆矩阵的概念?2. 逆矩阵的计算?3. 逆矩阵的性质?1. 逆矩阵的概念?2. 逆矩阵的计算?3. 逆矩阵的性质§ 逆矩阵 1. 逆矩阵的概念那么对于矩阵 A是否存在一个矩阵 B , 使得,1 11????aa aa ,I BA AB ??若存在,则矩阵 B称为 A的可逆矩阵或逆矩阵. 在数的运算中, 当数时, 0?a 有a a 1 1??a 其中为的倒数, a (或称的逆); 在矩阵的运算中, 单位阵 I 相当于数的乘法运算中的 1, 定义 对于 n阶矩阵 A,如果有一个 n阶矩阵 B, 则说矩阵 A是可逆的,并把矩阵 B称为 A的逆矩阵. ,I BA AB ??使得例设,2121 2121,11 11????????????????BA ,I BA AB ???. 的一个逆矩阵是AB?说明若是可逆矩阵, A 若设和是的可逆矩阵, B CA 则有,,I CA AC I BA AB????可得 IB B??? B CA ??? AB C?.C CI??所以的逆矩阵是唯一的,?今后我们把可逆矩阵今后我们把可逆矩阵 A A的逆矩阵记为的逆矩阵记为 A A ??1 1. . 问题:方阵 A什么条件下可逆?可逆阵的逆矩阵怎么求? A A ij ij为行列式为行列式??A A??中元素中元素 a a ij A ?是是a a ij ij的代数余子式的代数余子式 A A ij ij替换原有方阵替换原有方阵 A的元素元素 a a ij ij所构成矩阵的转置矩阵. 设A?(a ij) n?n,则称?????????????????????????????? nn nn n n T nn nn n nAAA AAA AAAAAA AAA AAAA?????????????? 21 222 12 121 11 21 222 21 112 11 * 定理 n阶矩阵 A可逆的充要条件是??A A???0, 且当 A可逆时, 证明: 必要性若 A可逆,. 11I AA A???使即有,1 1?????A 所以则得令时当, 1,0 ???AA BA ?????????????????? nn nn n nAAA AAA AAAA AA A??????? 21 222 12 121 11 111 充分性 ?????????????????A A A AA000 000 000 0001???????????????????????????????????????? nn nn n n nn nn n nAAA AAA AAAaaa aaa aaaA AA A AB?????????????? 21 2 22 12 1 21 11 21 2 22 21 1 12 111) 1( AAaAaAa nn???? 1112 12 11 11?AAaAaAa nn nn nnnn????? 2211I? IAAA BA ???1 同理, . 1A AA ???,按逆矩阵的定义得(1) 称??A A???0的矩阵 A为非奇异矩阵或满秩矩阵. ?称??A A???0的矩阵 A为奇异矩阵或降秩矩阵. (2) 定理可叙述为 A可逆?A非奇异.??;)()(3 **TTAA?;)( *1*AkkA n??; 1* ?? nAA (4) A A ??A ? A ???A A?? I ;??. 1)(5 1**AA AAA???且可逆, 可逆注意(3)(4) 结论对任意方阵方阵 A成立,即 A可逆或不可逆都成立. 2. 逆矩阵的计算??????????????? nn nn n naaa aaa aaaA??????? 21 2 22 21 1 12 11??????????????? nx x xX? 2 1??????????????? nb b bB? 2 1BAA BAX ???? 1 1 对线性方程组 AX ?B,当 A可逆时,有唯一解