文档介绍：2008年高考数学专题讲座(四)
——化归与转化
谢金怀
(浙江省上虞市上虞中学 312300)
解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,通过观察、分析、类比、联想等思维过程,选择运用恰当的数学方法进行变换,将原问题转化为一个新问题(相对来说,对自己较熟悉的问题),通过新问题的求解,达到解决原问题的目的,这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。
化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题;将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题;将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想,解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是,如未知向已知转化,复杂问题向简单问题转化,新知识向旧知识的转化,命题之间的转化,数与形的转化,空间向平面的转化,高维向低维转化,多元向一元转化,高次向低次转化,超越式向代数式的转化,函数与方程的转化等,都是转化思想的体现。通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。
转化有等价转化和非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的,才保证转化后的结果仍为原问题的结果。在不得已的情况下,进行非等价转化,应附加限制条件,以保持等价性,或对所得结论进行必要的验证,它能带来思维的闪光点,找到解决问题的突破口。
我们结合几个例子来谈谈化归与转化的思想方法在解题中的重要作用。
,,则集合中元素的个数为( )
(2)设A、B、I均为非空集合,且满足,则下列各式中错误的是( )
解析:(1)将集合中元素个数的符号语言转化为与之等价的文字语言:圆与抛物线交点的个数。因此在同一坐标系内作出圆和抛物线的图象,观察可得选B;
(2)将题设条件转化为图形语言,即构造图2,由图形逐一验证,得B项不正确,故应选B。
点评:对于许多集合问题,通过转化,将不熟悉和难解的集合问题转化为熟知的易解的问题,将抽象的问题转化为具体的直观的问题,便于将问题解决。
,求实数k的取值范围。
解析:令cosx=t,,则由得方程中的cosx有两个不同的符号,等价于关于t的方程(1)在有异号两根,设,则原问题又等价于, 由此可得
点评:在此例中,原表述让人有曲折难懂之感,因此采取了转化问题表述的策略,将问题作等价形式的转化,从而使问题思路明朗化。
,试求实数的取值范围。
解析:
令,则要使它对均有,只要有
或。
点评:在有几个变量的问题中,常常有一个变元处于主要地位,我们称之为主元,由于思维定势的影响,在解决这类问题时,我们总是紧紧抓住主元不放,这在很多情况下是正确的。但在某些特定条件下,此路往往不通,这时若能变更主元,转移变元在问题中的地位,就能使问题迎刃而解。本题中,若视x为主元来处理,既繁且易出错,实行主元的转化,使问题变成关于p的一次不等式,使问题实现了从高维向低维转化,解题简单易行。
例4.(1)已知,且,求证:;
证明:设,其中
则
原不等式得证。
点评:三角换元法:把代数形式转化为三角形式,利用三角函数的性质解决。
(2)若,则(