文档介绍：第四章频率域图像增强主要内容傅立叶变换和频率域介绍平滑的频率域滤波器频率域锐化滤波器同态滤波器傅立叶级数: 任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和/ 或余弦和的形式。复杂函数可以用由简单的正弦和余弦函数表示。 01 ( ) ( cos sin ) 2 k k ka f x a kx b kx ??? ? ?? 背景知识 01 ( ) 1 ( ) cos 1 ( )sin kk a f x dx a f x kxdx b f x kxdx ??????????????????系数: 2?在周期内: 傅立叶变换: 甚至非周期函数(曲线是有限的情况下)也可以用正弦和/ 或余弦乘以加权函数的积分表示。用傅立叶级数或变换表示的函数特征可以通过傅立叶反变换重建,不丢失任何信息。 一维傅立叶变换及其反变换单变量连续函数 f(x) 的傅立叶变换 F(u) 定义为: 傅立叶变换和频率域的介绍 2 ( ) ( ) j ux F u f x e dx ??????? 2 ( ) ( ) j ux f x F u e du ?????? 2 ( ) ( , ) ( , ) j ux uy F u v f x y e dxdy ?? ?? ??????? ? 2 ( ) ( , ) ( , ) j ux uy f x y F u v e dudv ?? ???????? ?离散形式的傅立叶变换: 1 2 / ( ) ( ) 0,1, 2,..., 1 M j ux M u f x F u e x M ??? ??? 1 2 / 01 ( ) ( ) 0,1, 2,..., 1 M j ux M x F u f x e u M M ????? ??? cos sin j e j ?? ?? ? 101 ( ) ( )[cos 2 / sin 2 / ] Mx F u f x ux M j ux M M ? ???? ?? 0,1, 2,..., 1 u M ? ?因此傅立叶变换的每一项[即对于每个 u值, F(u )的值]由 f(x )函数所有值的和组成. f(x )的值与各种频率的正弦值和余弦值相乘。 F(u )值的范围覆盖的域( u的值)称为频率域,因为 u决定了变换的频率成分. F(u )的M项中的每一个被称为变换的频率分量。傅立叶变换可看成“数学的棱镜”,将函数基于频率分成不同的成分. 使我们能够通过频率成分来分析一个函数。用极坐标表示 F(u) 比较方便: ( ) ( ) | ( ) | j u F u F u e ??? 2 2 2 2 2 | ( ) | ( ) ( ) ( ) arctan ( ) ( ) | ( ) | ( ) ( ) F u R u I u I u u R u P u F u R u I u ?? ?? ??其中频率谱( )= 相角(相位谱)功率谱 R(u) 和 I(u) 分别为 F(u) 的实部和虚部在离散傅立叶变换中,函数 f(x )中x的取值不一定是[0,M-1] 中的整数值, 而是任意选取的等间隔点. 0 ( ) ( ) f x f x x x ? ??( ) ( ) F u F u u ? ? 1u M x ? ?? u总是从 0频率开始 u x ? ?且和之间满足如下关系: