文档介绍：DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD 第二章一类具有四阶细焦点的平面六次系统的定性分析引言本章将讨论如下一类平面六次系统: ?????????????????),( ),( 334 43 42 21yxQyxayxaxayxayx dt dy yxpy dt dx?其中?,ia ( i=1,2,3,4 ) 均为任意实数, 对该系统的奇点进行了分类, 利用基于 Poincare 思想的形式级数法和对称原理来进行六次多项式系统中心焦点的判定; 利用 Hopf 分支理论, 根据系统参数的变化时焦点稳定性的变化, 分析系统存在极限环的充分条件和生成环的稳定性条件。平横点的性态本章将对如下的一类平面六次系统微分系统进行定性分析: ?????????????????),( ),( 334 43 42 21yxQyxayxaxayxayx dt dy yxpy dt dx?( ) 其中?,1a ,2a ,3a ,4a 为任意实数。定理对于系统( ) ,当?? 0 时,有(1)若2a =0 时,可以得到有限处实奇点只有 O( 0,0 ) ,且-2<?<0 时为稳定的粗焦点, 0<?<2 时,为不稳定的粗焦点(2)若0 2?a 时, 则有限处的实奇点有 O( 0,0 )和N(321a ,0) 两个,且O( 0,0 ) 点的性态同上,而 N 点为系统的鞍点证明:考虑方程组?????????????0 ),( 0),( 334 43 42 21yxayxaxayxayxyxQ yyxp? DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD (1 )当 2a =0 时,可以得到有限处的奇点为 O( 0,0 ) ,由????????????????????????????????? 234 43 21 324 33 3213 34421 1 0yxaxaxay Q yxayxaxa xyax Q y P x P?( ) 可得系统的线性近似系统的 Jacobi 矩阵为 Jo=????????????????????y Qx Q y Px P =??????????1 10 则系统的近似系统的特征方程为) det( E Jo??=011 1 2?????????????其中4 2????,从而当-2<?<0 时, O( 0,0 )为稳定的粗焦点;当 0<?<2 时, O( 0,0 ) 为不稳定的粗焦点。(2)当2a ? 0 时,可得有限处的奇点为 O( 0,0 )和 N(321a ,0) 。现在利用 p-q 参数判别法分别对这两种奇点进行判定。O( 0,0 ) 性态同上, 现对 N(321a ,0) 进行判定,令( ) 式中的 x=321a , y=0 ,可以得到系统的线性近似系统的 Jacobi 矩阵为 NJ =????????????????????y Qx Q y Px P =???????????? 3 42 33 22 13 10a aa a? DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD ??) det( EJ N? 03)(3 1 3 42 33 22 1 23 42 33 22 1????????????????a aa aa aa a 有 q=-5, 则 q<0 ,根据 p-q 参数判定法则知, N(321a ,0 )是系统的鞍点。当?=0时, 对应于( ) 式的线性系统的系数矩阵为?????????01 10 ,故O( 0,0 ) 是系统( ) 所对应的线性系统的中心。需要对奇点 O( 0,0 ) 进行中心焦点判定。下面采用基于 Poincar e 思想的形式级数法来研究当?=0 时奇点 O(0,0) 性态。定理对于系统( ) ,当?=0 时,有: (1)当1a >0 时, O( 0,0 )为一阶不稳定的细焦点; (2)当1a <0 时, O( 0,0 )为一阶稳定的细焦点; (3)当1a =0 ,3a >0 时, O( 0,0 )为二阶不稳定的细焦点; (4)当1a =0 ,3a <0 时, O( 0,0 )为二阶稳定的细焦点; (5)当1a =0 ,3a =0 ,42aa >0 时, O( 0,0 )为四阶不稳定的细焦点; (6)当1a =0 ,3a =0 ,42aa <0 时, O( 0,0 )为四阶稳定的细焦点; (7)当1a =0 ,3a =0 ,时, 42aa =0 时, O( 0,0 )为系统的中心; 证明:当?=0 时,令形式级数...),(...),(),(),( 43 22???????yxFyxFyxFyxyxF k 其中???? kji ji ijkyxayxF),( 是x与y的k 次