文档介绍：第三节高阶导数引例,函数y=sn2x,y=2cos2x,二阶导数y"=(y)=2(c0s2x)=4sin2x三阶导数y”=(y")=-4(si2x)=-8c0s2x,一般地,函数y=f(x)的导数y=f(x)仍是x的函数,称y=f(x)的导数为函数y=f(x)的二阶导数记作:y",f"(x),dy或2即y"=(y),dx-dxdx二阶导数的导数,叫做三阶导数记作:yf(x),y或4f三阶导数的导数,叫做四阶导数记作:y4,f(4(xdy8(n-1)阶导数的导数,叫做n阶导数,记作(n)f(x),2或fdxdx函数y=f(x)有n阶导数,也说函数y=f(x)为n阶可导二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。=esnt求y解y′=(esint)′=(e)sint+e'(sint)esint+ecost=e(cost-sint)y"=(y)=le(cost-sint)(e(cost-sint)+e(cost-sint)-e(cost-sint)+e(sint-cost)-=x2,求解y=/x1(-1)x2L(-1)(-2)x4-3y)=(4-1(g-2)…(4-n+1)x“特别地,(x")"=a,(a>0,a≠1)求y)解y=alhay=aIn2aaInayy(n=ahn"aL=ainae)=sinx欢(n)解y′=cOSx=sinx+丌丌2兀-coSx+sinx+-+-=sinIx+2丌3丌m=coSx+=sinr+2T_t=sinx+2(n)=sinx+n即(sinx))=six+2n元类似(cosx)"=cosx+2例5y=1求y解1+￥(1+x)2y=(-1(-1)2(1+x)=(-1)(1+x)(1+x)33(1+x)2y=(-1)22(-1)(1+x)=(-1)(1+x)(n)=(1nn,I(1+x)2+1即(-1)2·n!1+x(1+x)2+1法则若函数u=u(x),v=v(x)都在x处n阶可导,则(1)[(x)±v(x)1"=[u(x)±[v(x)(2)cu(x)"=cu(x)(3a(x)v(x)"=∑Cn(x)(n-k).v(x)(k)k=0=CDn(x)),v(x)0+Chu(x)m1)·v(x)+Cnln(x)2)v(x)2)+……+Cna(x)0,v(x)m上式称为莱布尼茨Leibniz)公式其中,=k!(n-=x2e2x,求y20解设u=e2x,y=x()=(e2)(2ke2x(k=1,2…,20)v=2x,v"=2,v)=0(k=34,…,20由莱布尼茨公式得,y20=(x2e2)2=∑20(e)(2(x2)(k)=C20(e2xY(20),2x+coo(e2)9(x2)+C20(e2)8(x2)=220e2xx2++202e2182=20e2(x2+20x+95)+y2=1欢p(隐函数的高阶导数)解方程两边对x求导2x+2yy=0得yy上式两边再对x求导y=(--ry=ryyyL/、x+y