文档介绍：第 26 课时对数函数( 4) 【学习导航】学习要求 1、进一步巩固对数函数的性质; 2、掌握简单的对数不等式求解方法; 3、掌握对数函数与恒成立问题。【精典范例】一、对数不等式的求解方法例 1、解关于 x的对数不等式; 2 log a (x- 4)>log a (x- 2). 思维分析:可以去掉对数符号,化为一般的代数不等式求解;同时考虑到底数 a 的取值范围不确定,故应进行分类讨论。解:原不等式等价于????????????,02 ,04 ),2( log )4( log 2x x xx aa (1) 当 a>1 时,又等价于????????????,02 ,04 ,2)4( 2x x xx 解之,得 x>6 。(2) 当 0<a<1 时,又等价于????????04 2)4( 2x , xx 解之,得 4<x<6. 综上,不等式的解集,当 a>1 时,为(6, +∞); 当 0<a<1 时,为(4,6). 二、以对数函数为模型的抽象函数问题例 2、已知函数 f(x) 的定义域是(0, +∞),满足 f(4)=1 , f(xy)=f(x)+f(y).(1) 证明 f(1)=0 ; (2) 求 f(16) ; (3) 试证 f(x n )=nf(x) , n∈ N*. 思维分析:这显然是一个抽象函数。根据题目给定的三个条件,可以将对数函数 y=log 4x作为该函数的原型,从而找到问题的解决思路与方法。(1) 证明:令 x=y=1 ,则得 f(1)=f(1)+f(1) ,故 f(1)=0 ; (2) 解:令 x=y=4 ,则有 f(16)=f(4 × 4)=f(4)+f(4)=1+1=2 ; (3) 证明: f(x n )=f(x · x·…· x) (n个 x) =f(x)+f(x)+ …+f(x)=nf(x) (n个 f(x)) 三、对数函数与恒成立问题例 3: 已知: ( ) log a f x x ?在[3, ) ??上恒有| ( ) | 1 f x ?,求实数 a 的取值范围。分析:去掉绝对值符号,转化为含对数式的不等式。【解】∵[3, ) x ? ??,∴当1a?时, | ( ) | ( ) f x f x ?,由| ( ) | 1 f x ?在[3, ) ??上恒成立,得 log 1 ax?在[3, ) ??上恒成立, ∴ log 3 1 a?,∴ 1 3 a ? ?(1) 当 0 1 a ? ?时, | ( ) | ( ) f x f x ??,由| ( ) | 1 f x ?在[3, ) ??上恒成立,得 log 1 ax ? ?在[3, ) ??上恒成立, ∴ log 3 1 a ??, ∴113 a ? ?(2) 由(1)(2 )可知,实数 a 的取值范围为 1 (1, 3) ( ,1) 3 ?思维点拔: 本题的特点是给出了自变量 x 的取值范围,求字母 a 的取值范围,它与解不等式有本质的区别, ( ) 1 f x ?在[3, ) ??上恒成立,是指( ) f x 在[3, ) ??上的所有值都大于 1 ,这是一个不定问题,但转化为函数的最大(最小)值后,问题就简单了,这类问题的一般结论是: (1)