文档介绍：2009考研数学重点难点疑点分析(续三)
——多元函数积分学之重积分的复习
来源:文都集团
重积分是多元函数积分学中的一部分,主要包括二重积分与三重积分,特别地,二重积分是联系其他多元函数积分学内容的中心环节,故而它也是核心。
二重积分是三重积分的基础,在建立了二重积分概念以后,三重积分是其自然的推广,没有本质折差别。在计算上看来,二重积分与三重积分都是最终化为定积分来计算的,但三重积分不论是采用“先二后一”还是“先一后二”,都要通过二重积分的计算,所以二重积分在多元函数积分学中有重要的作用,深入理解二重积分的概念,熟练掌握二重积分的计算方法,是学好多元函数积分学的关键。
对三重积分来说,计算的基本思路是转化为定积分,但计算的繁简取决于坐标系的选择,而坐标系的选择取决于积分区域的形状。一般来说,当积分区域是柱体、锥体或由柱面、锥面、旋转面与其他曲面所空间立体时,宜利用柱面坐标计算;当积分区域是球体、锥体或球本的一部分时,宜利用球面坐标计算;当积分区域是长方体、四面体或任意形体时,宜利用直角坐标计算。
重积分
二重积分的计算方法
利用直角坐标计算二重积分
若D为X-型区域,即D可用不等式组表示为,则。
若D为Y-型区域,即D可用不等式组表示为,则。
(2)利用极坐标计算二重积分
若极点在D内,即D可用不等式组表示为,则
。
若极点在D边界线上,即D可用不等式组表示为,则
。
若极点在D外,即D可用不等式组表示为,则

。
三重积分的计算方法
(1)利用直角坐标计算三重积分
若可表示为,其中
为在xOy面上的投影,则
注:一般而言,三重积分的积分区域不要求画出草图,只须弄清积分区域的形状是什么,其上边界及下边界是什么函数,以及积分区域在xOy面上的投影区域是什么,就可把三重积分化为一个单积分所确定的函数在D上的二重积分。这种方法又称为“先一后二”。
若可表示为,其中是平行于xOy平面,竖坐标为z的平面截闭区域
所得到的一个平面闭区域,则
注:这种方法又称为“先二后一”。
利用柱坐标计算三重积分
若可由不等式组表示为
则
利用球面坐标计算三重积分
若可由不等式组表示为
则
————摘自《高等数学过关与提高》