文档介绍：定积分的简单应用(二)复****求曲边梯形面积的方法是什么定积分的几何意义是什么微积分基本定理是什么引入:我们前面学****了定积分的简单应用一一求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。简单几何体的体积计算问题:设由连续曲线yf(x)和直线xa,xb及x轴围成的平面图形(如图甲)绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V,如何求V分析:X2 [[I Xn1在区间[a,b]内插入n1个分点,使axoxixn b,把曲线yf(x)(axb)分割成n个垂直于x轴的“小长条”,如图甲所示。设第i个“小长条”的宽是xXix1,i1,2」||,n。这个“小长条”绕x轴旋转一周就得到一个厚度是Xi的小圆片,如图乙所示。当人很小时,第i个小圆片近似于底面半径为yf(x)的小圆柱。因此,第i个小圆台的体积Vi近似为Vi f2(x)X该几何体的体积V等于所有小圆柱的体积和:V[〃(为)为f2(X2)X2[I]f2(Xn)Xn]这个问题就是积分问题,则有:b 2 b2Vf(x)dxf(x)dxa a归纳:设旋转体是由连续曲线yf(x)和直线xa,xb及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转bo而成,贝U所得到的几何体的体积为V f2(x)dxa利用定积分求旋转体的体积找准被旋转的平面图形,它的边界曲线直接决定被积函数分清端点确定几何体的构造利用定积分进行体积计算一个以y轴为中心轴的旋转体的体积一一 bo若求绕y轴旋转得到的旋转体的体积,则积分变量变为y,其公式为v g2(y)dya类型一:求简单几何体的体积例1:给定一个边长为a的正方形,绕其一边旋转一周,得到一个几何体,求它的体积思路:由旋转体体积的求法知,先建立平面直角坐标系,写出正方形旋转轴对边的方程,确定积分上、下限,确定被积函数即可求出体积。解:以正方形的一个顶点为原点,两边所在的直线为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,如图BC:ya。则该旋转体即为圆柱的体积为:V0 a2dx a2x|a规律方法:B0AL 耳f(x)。确定积分上、下限求旋转体的体积,应先建立平面直角坐标系,设旋转曲线函数为"f2(x)dxaa,b,则体积V类型二:求组合型几何体的体积例2:如图,求由抛物线y28x(y0)与直线xy6 0及y0所围成的图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积思路:解答本题可先由解析式求出交点坐标再把组合体分开来求体积。解:解方程组y28x(y0)得:2y8x与直线xy60的交点坐标为(2,4)所求几何体的体积为:V:(.8x)2dx 26(6x)2dx16643112规律方法:解决组合体的体积问题,关键是对其构造进行剖析,分解成几个简单几何体体积的和或差,然后,分别利用定积分求其体积练****2:求由直线y2x,直线x1与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。解:旋转体的体积:(2x)2dx类型三:有关体积的综合问题:例3:求由曲线y2x2与y莎所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积思路:解题的关键是把所求旋转体体积看作两个旋转体体积之差。画出草图确定被积函数的边