文档介绍：随机过程与衍生品定价基础
随机漫步与有效市场假说
股价遵循随机漫步(Random Walk)假设:任何可用于预测股票价格的信息必然已经在股价中被反映了
即:股价的变动是随机的,且不可预测
股价的随机漫步行为归因于(随机且不可预测的)新信息被即时反映到股价中,因此,即刻的股价已经反映了即刻所知的所有信息,这就是有效市场假说(Efficient Market Hypothesis)
有效市场假说的形式
弱有效市场:股价已经反映了全部能从市场交易数据中得到的信息,因此对价格趋势的分析(技术分析)是无效的
半强有效市场:与公司前景有关的所有公开信息已经在股价中得出了反映,因此基本面分析是无效的
强有效市场:股价反映了全部与公司有关的信息,包括未公开的内幕信息。
股价随机漫步的经济意义
金融资产价格在下一个时间段内的变动独立于上一个时间段内的变动(iid假设)
资产价格的运动过程包含两部分,即漂移率μ(Drift rate)和方差率σ2(Variance rate)
资产价格从初始点,经过离散时间段t之后,预期波动(不考虑漂移律)的大小为
资产收益率是服从均值等于μ,波动率(标准差)等于σ的正态分布
传统理论中有效市场假设的数学意义
数学意义:股价(收益)的未来预期与其历史路径无关(时间序列无自相关),即股价服从马尔科夫过程
定义:马尔科夫过程(Markov Process) 是这样的一种随机过程,随机变量 Wt (t >= 0)的变化只与其现值以及对未来的预期有关,而与 Wt 的历史路径无关。
维纳过程(Wiener Process)
标准维纳过程 Zt (t >= 0) 是一种特殊的马尔可夫过程,它符合
1、对于每一个微小时间段Δt 内的增量Δz ,有
ε服从标准正态分布
2、在任意两个时间段Δt1 ,Δt2内的增量Δz1, Δz2独立
维纳过程常用于描述物理学上的布朗运动(Brownian Motion)
维纳过程的数学特征
对于维纳过程的增量Δz ,显然有以下性质成立
E (Δz ) = 0
标准差
方差
一般维纳过程(Generalized Wiener Process)
定义三,我们称随机过程为一般维纳过程,它符合
其中,a ,b 为常量,它们分别表示一般维纳过程的漂移系数和波动率(标准差)。
一般维纳过程的数学特征
对于一般维纳过程的增量Δz ,显然有以下性质成立
Ito过程
由上述内容,我们扩展出Ito过程
定义四,Ito过程,符合下式
显然,Ito过程是将一般维纳过程的漂移系数a 和波动率b 扩展为潜在变量x 和时间t 的函数
在许多传统理论中都用Ito过程来描述金融资产价格的动态变化