文档介绍：《概率论与数理统计》第一章 概率论的基本概念§2•样本空间、随机事件1•事件间的关系AB则称事件B包含事件A,指事件A发生必然导致事件B发生A B {xx A或x B}称为事件A与事件B的和事件,指当且仅当A,B中至少有一个发生时,事件AB发生A B {xx A且x B}称为事件A与事件B的积事件,指当A,B同时发生时,事件AB发生A—B{xxA且xB}称为事件A与事件B的差事件,指当且仅当A发生、B不发生时,事件A—B发生AB ,则称事件A与B是互不相容的,或互斥的,指事件A与事件B不能同时发生,基本事件是两两互不相容的ABS且AB ,则称事件A与事件B互为逆事件,(AB)CA(BC) (AB)CA(BC)分配律A(BC)(AB)(AC)徳摩根律A―BabA―BAB§,进行了n次试验,在这n次试验中,事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数,比值nAF称为事件A发生的频率概率:设E是随机试验,S是它的样本空间,对于E的每一事件A赋予一个实数,记为(A),称为事件的概率概率P(A)满足下列条件:非负性:对于每一个事件A0P(A)1规范性:对于必然事件SP(S)1n n可列可加性:设A1,A2,,An是两两互不相容的事件,有P(Ak) P(AJ(n可以取k1 k1概率的一些重要性质:P()0n n(ii)若A1,A2,,An是两两互不相容的事件,则有 P(Ak) P(Ak)(n可以取)k1 k1(iii)设A,B是两个事件若AB,则P(BA)P(B)P(A),P(B)P(A)(iv)对于任意事件A,P(A)1(v)P(A)1P(A) (逆事件的概率)(vi)对于任意事件A,B有P(AB)P(A)P(B)P(AB)§4等可能概型(古典概型)等可能概型:试验的样本空间只包含有限个元素,试验中每个事件发生的可能性相同若事件A包含k个基本事件,即A{引}値}i1,i2, ,ik是1,2, n中某k个不同的数,则有P(A)kP{eij}kA包含的基本事件数nS中基本事件的总数§5•条件概率定义:设A,B是两个事件,且P(A)0,称P(B|A)巴为事件A发生的条件下事P(A)件B发生的条件概率条件概率符合概率定义中的三个条件1。非负性:对于某一事件B,有P(B|A)02 。规范性:对于必然事件S,P(S|A)13可列可加性:设Bi,B2,是两两互不相容的事件,则有 P(BiA) P(BiA)i1 i1(3)乘法定理设P(A)0,则有P(AB)P(B)P(A|B)称为乘法公式(4)全概率公式:P(A)nP(Bi)P(A|Bi)i1贝叶斯公式:P(Bk|A P(Bk)P(A|Bk)|A) nP(Bi)P(A|Bi)i1§,B是两事件,如果满足等式P(AB)P(A)P(B),则称事件A,B相互独立定理一设A,B是两事件,且P(A)0,若A,B相互独立,则P(B|A)PB定理二若事件A和B相互独立,则下列各对事件也相互独立: A与B,A与B,A与B第二章随机变量及其分布§1随机变量定义 设随机试验的样本空间为S{e}.XX(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数,称XX(e)为随机变量§2离散性随机变量及其分布律离散随机变量:有些随机变量,它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为离散型随机变量P(XXk)Pk满足如下两个条件(1)Pk0,(2) Pk=1k1三种重要的离散型随机变量-分布设随机变量X只能取0与1两个值,它的分布律是P(Xk)pk(1-p)1-k,k0,1(0p1),则称X服从以p为参数的分布或两点分布。伯努利实验、二项分布设实验E只有两个可能结果:A与A,(A)p(0p1),此时P(A)1-,则称这一串重复的独立实验为 n重伯努利实验。P(Xk)npkqn-k,k0,1,2,n满足条件(1)Pk 0,(2) Pk=1注意到°pkqn-kk k1 k是二项式(pq)n的展幵式中出现pk的那一项,我们称随机变量 X服从参数为n,p的二项分布。泊松分布设随机变量X所有可能取的值为0,1,2…,而取各个值的概率为k-P(Xk)—J,k0,1,2 ,其中0是常数,则称X服从参数为的泊松分布记为k!X~ ()§3随机变量的分布函数定义设X是一个随机变量,X是任意实数,函数F(x)P{Xx},称为X的分布函数分布函数F(x)P(Xx),具有以下性质(1)F(x)是一个不减函数(2)0F(x)1,且F() 0,F() 1 (3)F(x0) F(x),即F(x)是右连续的§4连续性随机变量及其概率密度连续随机变量:如果对于随机变量 X的分布函数F(x),存在非负可积