文档介绍：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第六节 二阶常系数齐次线性微分方程教学目的:使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点:二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程:一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程 方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程其中p、q均为常数如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解那么yC1y1C2y2就是它的通解我们看看能否适当选取r使yerx满足二阶常系数齐次线性微分方程为此将yerx代入方程ypyqy0得(r2prq)erx0由此可见只要r满足代数方程r2prq0函数yerx就是微分方程的解特征方程方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程特征方程的两个根r1、r2可用公式r1,2pp24q2求出特征方程的根与通解的关系(1)特征方程有两个不相等的实根 r1、r2时 函数y1 er1x、y2 er2x是方程的两个线性无关的解这是因为函数y1r1x、y2er2x是方程的解y1er1x(r1r2)x不是常数e又er2xey2因此方程的通解为C1er1xC2er2x特征方程有两个相等的实根r1r2时函数y1er1x、y2xer1x是二阶常系数齐次线性微分1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯方程的两个线性无关的解这是因为y1er1x是方程的解又(xer1x)p(xer1x)q(xer1x)(2rxr2)er1xp(1xr)er1xqxer1x111er1x(2r1p)xer1x(r12pr1q)0所以yxer1x也是方程的解y2xer1xx不是常数且2y1er1x因此方程的通解为C1er1xC2xer1x(3)特征方程有一对共轭复根r1,2i时函数ye(i)x、ye(i)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解函数yexcosx、yexsinx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解函数y1e(i)x和y2e(i)x都是方程的解而由欧拉公式得y1(i)xx(cosxisinx)eey2e(i)xex(cosxisinx)y1y2xxexcosx1(yy)2ecos212y1y22iexsinxexsinx1(yy)2i12excosx、y2exsinx也是方程解可以验证 y1excosx、y2exsinx是方程的线性无关解因此方程的通解为yex(C1cosxC2sinx)求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0的通解的步骤为第一步写出微分方程的特征方程2prq0r第二步求出特征方程的两个根r1、r2第三步根据特征方程的两个根的不同情况写出微分方程的通解例1求微分方程y2y3y0的通解解所给微分方程的特征方程为22r30即(r1)(r3)0r其根r11r23是两个不相等的实根因此所求通解为C1exC2e3x例2求方程y 2y y0满足初始条件 y|x04、y|x0 2的特解2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯解所给方程的特征方程为r22r10即(r1)20其根r1r21是两个相等的实根因此所给微分方程的通解为xy(C1C2x)e将条件y|x04代入通解得C1