文档介绍：2011高考数学精品讲练系列学案
排列、组合、二项式定理和概率
一、典型例题
例1、用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图),要求在①,②,③,④个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色。
若n=6,为甲着色时共有多少种不同方法?
若为乙着色时共有120种不同方法,求n。
解:完成着色这件事,共分四个步骤,可依次考虑为①、②、③、④着色时各自的方法数,再由乘法原理确定决的着色方法数。因此
(1)为①着色有6种方法,为②着色有5种方法,为③着色有4种方法,为④着色也只有4种方法。
∴共有着色方法6×5×4×4=480种
(2)与①的区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块,同理,不同的着色方法数是n(n-1)(n-2)(n-3)
由n(n-1)(n-2)(n-3)=120
∴(n2-3n)(n2-3n+2)-120=0
即(n2-3n)2+2(n2-3n)-12×10=0
∴ n2-3n-10=0
∴ n=5
例2、计算下列各题:
(1)
(2)
(3)
解:(1)原式=
(2)原式=
(3)原式=
=
例3、按以下要求分配6本不同的书,各有几种分法?
平均分给甲、乙、丙三人,每人2本;
平均分成三份,每份2本;
甲、乙、丙三人一人得1本,一人得2本,一人得3本;
分成三份,一份1本,一份2本,一份3本;
甲、乙、丙三人中,一人得4本,另二人每人得1本;
分成三份,一份4本,另两份每份1本;
甲得1本,乙得1本,丙得4本(均只要求列式)
解:(1);
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
评注:有关排列组合混合题常常是先组合再排列。
例4、四面体的顶点和各棱中点共有10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有( )
A、150种 B、147种 C、144种 D、141种
解:从10个点中任取4个点有种取法,其中4点共面的情况有三类。第一类,取出的4个点位于四面体的同一个面内,有种;第二类,取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点,这4点共面,有6种;第三类,由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱),它的4个点共面,有3种。以上三种情况不合要求应减掉,所以不同的取法共有(种)
例5、求(4+2x+x2)(2-x)7的展开式中x5的系数。
解:(4+2x+x2)(2-x)7=(8-x3)(x-2)6
=(8-x3)[(x6-2C61x5+(-2)2C62x4+(-2)3C63x3+(-2)4C64x2+…]
∴含x5的项为-2×8×C61·x5-(-2)4C64x5=-336x5
∴ x5的系数为-336
例6、已知的展开式前三项中的x的系数成等差数列。
求展开式里所有的x的有理项;
求展开式里系数最大的项。
解:(1)∵
由题设可知
解得n=8或n=1(舍去)
当n=8时,通项
据题意,必为整数,从而可知r必为4的倍数,而0≤r≤8
∴ r=0,4,8,故x的有理项为,,
设第r+1项的系数tr+1最大,显然tr+1>0,故有≥1且≤1
∵
由≥1得r≤3
又∵
由≤1得:r≥2
∴ r=2或r=3所求项为和
例7、设a>1,n∈N,且n≥2,求证:
证明:设