文档介绍：-----利用向量解决空间的距离问题
(四)
向量法求空间距离的求解方法
:两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离、平行平面的距离、、平行平面的距离都可以转化点到平面的距离.
:设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z3),则
:如图点P为平面外一点,
点A为平面内的任一点,平面的法向量为n,过
点P作平面的垂线PO,记PA和平面所成的
角为,则点P到平面的距离
n

A
P
O

B
A
a
M
N
n
a
b
:
①作直线a、b的方向向量a、b,求a、b的法向量n,即此异面直线a、b的公垂线的方向向量;②在直线a、b上各取一点A、B,作向量AB;③求向量AB在n上的射影d,则异面直线a、b间的距离为
例1:如图1:一个结晶体的形状为四棱柱,其中,以顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系?
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
图1
解:如图1,不妨设
化为向量问题
依据向量的加法法则,
进行向量运算
所以
回到图形问题
这个晶体的对角线的长是棱长的倍。
典例
思考:
(1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系?
(2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等,并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于, 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离
是多少? (提示:求两个平行平面的距离,通常归结为求点到平面的距离或两点间的距离)
思考(1)分析:
思考(2)分析:
∴这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长.
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
H
分析:面面距离转化为点面距离来求
解:
∴所求的距离是
思考(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少?
如何用向量法求点到平面的距离?
(1) 求B1到面A1BE的距离;
例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,E为D1C1的中点,求下列问题:
例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,E为D1C1的中点,求下列问题:
(2) 求D1C到面A1BE的距离;
解:∵D1C∥面A1BE
∴ D1到面A1BE的距离即为D1C到面A1BE的距离
仿上法求得
例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,E为D1C1的中点,求下列问题:
(3) 求面A1DB与面D1CB1的距离;
解:∵面D1CB1∥面A1BD
∴ D1到面A1BD的距离即为面D1CB1到面A1BD的距离