文档介绍：一堂立体几何探究课的教学实录与反思
培英高中吴燕荀
内容摘要:本文从说出正方体中开放性结论入手,通过类比联想,将正方体、正四面体、正八面体、,由平面到空间、由静到动,寻找以长方体为载体的几何体中变与不变的量,,对提高学生探究能力和创新能力作了一次有益的尝试,取得较得的教学效果.
关键词:立体几何探究实录反思
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问题1 如图1,棱长为a的正方体A1B1C1D1-ABCD中,你能得到哪些结论?
生1:我想可以得到:
①正方体面对角线长为a;
②正方体体对角线长为a;
③正方体表面积为6a2;
④正方体体积为a3.
师:请问谁能给出点评?
生2:以上几条结论都正确!不过我想还可以得到:
⑤正方体外接球的表面积为3πa2,体积为πa3;
⑥正方体内切球的表面积为πa2,体积为πa3.
……
师:这是一道开放题,结论应该有很多,与正方体有关的问题倍受命题者青睐,也看得出来,在处理立体几何问题时,!
这时有一位小女生打破沉默:我不明白正方体外接球与内切球的表面积与体积是怎么得来的?
师:哪位同学可以答疑?
生3:正方体外接球的直径等于正方体体对角线长,正方体内切球的直径等于正方体棱长.
师:清楚了吗?
小女生似乎还有点困惑.
师:如图2,正方形外接圆、内接圆与正方形边长有什么关系?
小女生:噢!……
生4:正方体还有棱切球的表面积为2πa2,体积为πa3.
生5:正方体内接正四面体(以正方体不共面4个顶点为顶点的四面体)的表面积为2a2,体积为a3.
生6:正方体内接正八面体(以正方体的六个面的中心为顶点的八面体)的表面积为a2,体积为a3.
评注:在学生已有的认知结构和能力的基础上,设计一个看似极其简单的开放题,旨在体现低起点,让不同的学生得到不同层次的结论,鼓励低一级水平的学生向上一级思维挺进,并提倡让不同的学生给出不同的解决方案,帮助全体同学协调发展,共同进步!
正四面体
正方体
正八面体
球
图 3
师:上述问题都是较常规,有些可由平面类比、联想、迁移得到,以正方体为载体,将正四面体、正八面体、正方体、球有机地融合在一起,如图3.
下面我们探究正方体中的动态问题:
问题2 如图4,棱长为a的正方体A1B1C1D1-ABCD中,直线C1D1上的线段EF,且EF=a,当EF运动时,多面体EF-ABCD中哪些发生变化?哪些不变?
生7:当EF运动时,多面体EF-ABCD的形状发生变化,但总有:
(1)EF∥平面ABCD;
(2)EF与平面ABCD的距离为定值;
(3)多面体EF-ABCD的体积为定值.
(注:以下主要证明多面体EF-ABCD的体积为定值,下同)
(3)简解:如图4,连结EB,EC,则多面体EF-ABCD被分割成一个四棱锥E-ABCD和一个三棱锥B-ECF,
∴多面体EF-ABCD的体积:
V=(定值) .
师:能否作进一步的推广?
生8:如果题目条件作如下变化,上述结论仍然成立:
(ⅰ)EF=b;
(ⅱ)正方体A1B1C1D1-ABCD变换为长方体;
(ⅲ)正