文档介绍：万学海文2010年考研数学模考班讲义
主讲铁军
铁军老师简介:著名考研数学辅导专家,近几年在沈阳、武汉、广州、上海、厦门等各大城市声名鹊起,成为与王式安、李永乐齐名的考研数学辅导“三驾马车”之一。铁军教授从事考研数学辅导工作以来,以其高屋建瓴、大气磅礴、睿智幽默的风格,对考点、重点、难点全面、深刻、透彻的把握,关爱学生、高度负责的态度以及对考题的精准预测,令考生受益无穷。特别是铁军老师的数学全程保过班,更是以无与伦比的连续性、系统性和考生的数学成绩大面积高分而受到广大莘莘学子的爱戴!
2010年,考研竞争空前激烈!在考研征途的最后关头,北京万学海文集团邀请铁军老师亲临面授,与您携手并肩,您的理想将在您我的共同努力下实现。这是我们的信心,也将是您的信心!因为我们的自信,让您更加自信!
第一部分高等数学
第一章函数极限连续
函数是微积分的研究对象,极限是微积分的理论基础,而连续性是可导性与可积性的重要条件。它们是每年必考的内容之一。
【考点一】用定积分的定义计算和式的极限:由定积分的定义知,当连续时,有,
.
【例1(数二、三)】极限.
【详解】(1)原式=
【考点二】使用洛必达()法则求型未定式的极限之前,一定要将所求极限尽可能地化简。化简的主要方法:
(1)首先用等价无穷小进行代换。注意:等价无穷小代换只能在极限的乘除运算中使用,而不能在极限的加减运算中使用,但在极限的加减运算中高阶无穷小可以略去;
(2)将极限值不为零的因子先求极限;
(3)利用变量代换(通常是作倒代换,令)
(4)恒等变形:通过因式分解或根式有理化消去零因子,将分式函数拆项、合并或通分达到化简的目的。
【记忆要点】常见的等价无穷小代换:
当时,我们有:
(1)sinx~x (2)arcsinx~x (3)tanx~x (4)arctanx~x
(5) (6) (7)
(8) (9) (10)()
(11) (12)
【例2(数一、二、三)】已知,求.
【详解】=

=
=38.
【考点三】在已知条件或欲证结论中涉及到无穷小量阶的比较的话,则“不管三七二十一”,先用无穷小量阶的比较的定义处理一下再说。
【评注】无穷小量阶的比较,是一个重要考点。其主要方法是将两个无穷小量相除取极限,再由定义比较阶的高低。
设是同一过程下的两个无穷小,即。
若若则称是比低阶的无穷小;
若
若则称与是等价无穷小。
【例3(数一、二、三)】当时,和都是关于的n阶无穷小量,而+是关于的m阶无穷小,则
(A) 必有m=n (B) 必有
(C) 必有(D)以上几种情况都有可能
【详解】应选(B).由已知条件,可设
,则
.
若,则+是关于的n阶无穷小,此时m=n;若a+b=0, 则+是关于的高阶无穷小,必有。故应选(B)。
第二章导数与微分
导数与微分是一元函数微分学中的两个重要概念,在高等数学中占有重要地位,其内涵丰富,应用广泛,是考试的主要内容之一,应深入加以理解,同时应熟练掌握导数的各种计算方法。
【考点四】设二阶可导,则有:
若为奇函数,则为偶函数,为奇函数,且
。简单地说,可导的奇函数的导数为偶函数。
若为偶函数,则为奇函数,为偶函数,且
。简单地说,可导的偶函数的导数为奇函数。
(3) 可导的周期函数的导函数是具有相同周期的周期函数。也就是说,如果函数f(x)二阶可导,且有,则,。
【例4(数二)】设函数具有二阶导数,并满足且若则( )
(A) (B)
(C) (D)
【详解】应选(B)。由知,是周期为1的周期函数,而可导的周期函数的导函数仍为周期函数, 因而均是周期为1的周期函数。又为奇函数,故,
,
且
又因为偶函数,为奇函数,故,因此
于是有应选(B)。
【考点五】(1)导数是特殊形式的极限,可把它看作是两种重要极限之外的第三种重要极限。
(2)常用导数的定义求一些抽象函数构成的分式函数的极限,其思路是:
先将分式函数的分子和分母化成下列标准形式,即
①
②

然后再用导数的定义求出未知极限。
【例5】已知,则.
【详解】由于题设只给出可导,故求极限时无法使用洛必达法则,只能应用导数定义进行计算。
=
==.
【考点六】(1)过曲线上的点的切线方程为
.
特别地,若,则在点的切线方程为;若,则在点的切线方程为。
(2)过曲线上的点的法线方程为
.
特别地,若,则在点的法线方程为;若
,则在点的法线方程为。
(3)两条曲线相切包含两层含义:①两条曲线有公共的交点,即切点;②两条曲线在公共切点处的导数相等,即切线的斜率相等。
【例6】设周期函数f(x)在内可导,周期为4,又