文档介绍：§8 同态
上一节主要讨论集合之间的关系。近世代数的主要研究对象是代数结构。所谓代数结构是指带有(代数)运算的集合。因此我们要讨论一下与代数运算页发生关系的映射。
设集合带有运算,集合带有运算,是一个映射。,问是否成立?
设Z(整数集),,均为普通加法。令
,
,
,
则,,(=2,3).。
设,分别是集合的代数运算,是一个映射。若,有,则称是到的一个同态。
例2 Z(整数集),是普通加法;,是普通乘法。
(1)是一个到的一个同态映射。事实上,,,故。
(2) ,则是满的同态映射。因为,若则;
若则
若则
若则
(3) ,则是映射但不是同态,因为。
,分别是集合的代数运算,若是一个单射(满射)的同态映射,则称
是一个同态单射(满射)。特别地,当是一个同态满射时,对于,来说,称与同态。
设对于代数运算,来说,与同态,则
(i)若适合结合律,也适合结合律;
(ii)若适合交换律,也适合交换律。
证明设是一个同态满射。
(i),则存在,使得,,,于是
()======。
(ii) ,则存在,使得,,于是有====。
⊙,是的代数运算, ⊙, 是的代数运算,且存在满射,使得与对于代数运算⊙,⊙是同态,对于代数运算,也是同态,则(i)若⊙,适合第一分配律,⊙,也适合第一分配律,(ii)若⊙,适合第二分配律,⊙,也适合第二分配律。
证明(1) ,则存在,使得,,,于是
⊙⊙=⊙=⊙=⊙⊙=)⊙()⊙(=⊙⊙.
类似可证明(ii).
作业:
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