文档介绍：§2、3极限的运算和两个重要极限、极限的四则运算两个重要极限无穷小量的比较说明:记号“lim”下面没有标明自变量的变化过程实际上,下面的定理对x→X0及x→都成立。我们只证明x→X的情形。极限的四则运算定理设limf(x)=A,img(x)=B,则(1)lim[f(x)±g(x)=A±B(2)lim[f(x)·g(x)=A·B;(3)limf(r)A8(x)G,其中B≠:lim∫(x)=A,limg(x)=B.∫f(x)=A+α,g(x)=B+→>0,β→(x)±g(x)]-(A±B)=α±B→0.(1)成立[f(x)·g(x)]-(A·B)=(+a)(B+β)-AB=(Aβ+B)+aB→>0(2)成立f(x)AA+aA_Ba-Aβ∵Ba-Aβ→0g(x)BB+βBB(B+β)又:B→0,B≠0,彐8>0,当0<x-x0<时,阝B+β≥B-β>B-2B=2B2B(B+p)>,B,故1B(B+B)B,有界,∴(3成立推论1如果imf(x)存在,而c为常数,则lim[cf()]=cliff(x).常数因子可以提到极限记号外面推论2如果imf(x)存在,而n是正整数则lim[f(x)]=[f(x)求极限方法举例1例1求mx2-3x+5解∵lim(x2-3x+5)=limx2-lim3x+lim5x→x→)(limx)-3limx+lim5x→2x→2=22-+5=3≠0,limx'-lim1x→2x2x2-3x+5lim(x2-3x+5)3x→2小结:1设f(x)=ax+a1x+…+an则有lim∫(x)=ao(limx)+a1(limx)”1+…+anx→xx→xox→xnaaraar+an=f(ro).∫P(x)(x),且Q(x0)≠0,则有o(r)limP(x)lim∫(x)=20limg(r)t(o)∫(x0)x→Q(x0)x→x0若Qx0)=0,则商的法则不能应用4x-1例2求lix→1x2+2x-3解∵lim(x2+2x-3)=0,商的法则不能用又:lim(4x-1)=3≠0,x2+2x-30∴→)14x-1由无穷小与无穷大的关系得4x-1mx→1x2+2x-3例3求lmx→x2+2x-3解x→1时,分子分母的极限都是零(0型)先约去不为零的无穷小因子x-1后再求极限limlir(x+1)(x-1)x→1x2+2x-3x小1(x+3)(x-1)linx+11x1x+32(消去零因子法)例4求lm2x3+3x2+5x→7x3+4x2-1解x→∞时,分子分母的极限都是无穷大(型)先用x3去除分子分母分出无穷小再求极限352x3+3x2+52+-+lim-xx2x→∞7x3+4x2-1x→)∞7rC(无穷小因子分出法)小结:当a≠0,b0≠0,m和n为非负整数时有当naer+ar1十…+ali1>mx→bx"+b1xn1+b2=10当n当n<m无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限